TMA4305 Partielle differentialligninger 2020

Det er ingen obligatoriske øvinger i emnet. Øvinger i omvendt kronologisk rekkefølge.

Gitt en PDE med initialdata: \[ u_t+u^2u_x=0,\quad u(0,x)=\frac1{1+x^2}. \] Hva er største verdi av \(T\) slik at problemet har en klassisk løsning for \(x\in\mathbb{R}\), \(t\in[0,T)\)?

Løs initialverdiproblemet \[uu_x+y^2u_y=yu,\quad u(x,1)=x.\] Hva er det største området i planet som tillater en klassisk løsning?

Benytt løsningen til B 4.1 til å vise at den homogene bølgeligningen på et område gitt ved \(a_0<x+ct<a_1\), \(b_0<x-ct<b_1\) har generell løsning \(u(t,x)=f_1(x-ct)+f_2(x+ct)\) for funksjoner \(f_1\) og \(f_2\). Hvordan kan du utvide resultatet til \(x\in\mathbb{R}\), \(t>0\)?

En alternativ utledning av D'Alemmberts løsning: Fyll inn de manglende detaljene nedenfor.

Start med ligningen \(u_{tt}-c^2u_{xx}=0\). Anta at \(u\) er en løsning, og definer de to funksjonene \(u_t \pm c u_x\). Disse oppfyller enkle transportligninger, så hver av dem er en bølge med hastighet \(\pm c\). Med andre ord finnes funksjoner \(w_\pm\) slik at \[ \begin{aligned} u_t-cu_x &= -2c w_+'(x-ct)&&\text{(en høyrebølge),}\\ u_t+cu_x &= 2c w_-'(x+ct)&&\text{(en venstrebølge).} \end{aligned} \] (Faktorene \(\pm 2c\) og derivasjonen på høyresiden er ikke vesentlige; de er bare for å forenkle regningen videre.) Addér de to ligningene og integrer mhp \(t\), og subtraher dem og integrer mhp \(x\). Du trenger to «integrasjonskonstanter» \(C_1(x)\) og \(C_2(t)\). Konkluder at de integrasjonskonstantene må være like, og derfor en virkelig konstant \(C\). Konkluder at \[ u(t,x) = w_+(x-ct)+w_-(x+ct)+C. \]

(Men vi kan like godt inkorporere \(C\) i en av de to funksjonene \(w_{\pm}\).)

Til slutt, sett inn i initialdataene \[ u(0,x) = g(x), \quad u_t(0,x) = h(x) \] og utled D'Alemberts løsning.

Bjelkelingningen har formen \(u_{tt} + u_{xxxx} = f(t,x)\). Finn en tilhørende energitetthet og -fluks, og bruk disse til å vise entydighet av løsninger for et initial- og randverdiproblem på intervallet \((0,1)\). Det er en del av oppgaven å finne egnede initialverdier og randbetingelser som sikrer entydighet.

(a) Betrakt terningen \(Q=(0,\pi)\subset\mathbb{R}^n\) og funksjonen \[w(t,\mathbf{x})=e^{-nt}\prod_{i=1}^{n} \sin x_i\qquad(t\ge0,\mathbf{x}\in\overline{Q}).\] Verifiser at \(w\) tilfredsstiller varmeligningen.

(b) La \(\Omega\) være et område med \(\overline\Omega\subset Q\), Anta at \(u \in C\bigl([0,\infty)\times\overline{\Omega}\bigr) \cap C^2\bigl((0,\infty)\times \Omega\bigr)\) tilfredsstiller \(u_t-\Delta u=0\) for \((t,\mathbf{x}) \in (0,\infty)\times \Omega\) og \(u(t,\mathbf{x})=0\) for \((t,\mathbf{x}) \in [0,\infty)\times\partial \Omega\). Vis at \[\lim_{t\to\infty} u(t,\mathbf{x})=0\] uniformt mhp \(\mathbf{x}\).

Hint: Anvend maksimumsprinsippet på \(mw \pm u\) der \(m\) er en passe stor konstant.

Anta at \(u\) er harmonisk og positiv på ballen \(B_R(\mathbf{x})\subset\mathbb{R}^n\). Vis at dersom \(y \in B_R(\mathbf{x})\), så er \[u(\mathbf{y})<\left(1-\frac{\lvert \mathbf{x}-\mathbf{y}\rvert}{R}\right)^{-n} u(\mathbf{x}) .\]

Hint: Sett \(r=R-\lvert \mathbf{x}-\mathbf{y}\rvert\), og legg merke til at \(B_r(\mathbf{y})\subseteq B_R(\mathbf{x})\). Integrer \(u\) over de to ballene.

Denne oppgaven er en forenklet utgave av B 9.4. Den kan brukes til å løse 9.4 på en litt enklere måte.

La \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\) være et område, og \(\psi \in C_c(\Omega)\). La \(\rho\) være en standard glattefunksjon (mollifier), og \(\rho_\delta(x)=\delta^{-n}\rho(x/\delta)\) som vanlig. Da vil \(\psi*\rho_\delta\to\psi\) uniformt når \(\delta\to0\). Dette følger fordi \(\psi\) er uniformt kontinuerlig, sammen med de vanlige egenskapene ved \(\rho\). Du kan ta alt dette for gitt, og trenger ikke bevise det.

1. Anta i stedet at \(\psi\in C^k(\Omega)\). Bruk ovenstående til å vise at \(D^\alpha(\psi*\rho_\delta)\to D^\alpha\psi\) uniformt for hver multi-indeks med \(\lvert\alpha\rvert\le k\).
Vis videre at \(C_c^\infty(\Omega)\) er tett i \(C_c^k(\Omega)\) i følgende forstand: For hver \(\psi \in C_c^k(\Omega)\) finnes det en følge av funksjoner \(\psi_j \in C_c^\infty(\Omega)\) slik at \(D^\alpha \psi_j \to D^\alpha\psi\) uniformt for hver multi-indeks \(\lvert\alpha\rvert \le k\), og det finnes en kompakt mengde \(K\subset\Omega\) med \(\operatorname{supp}(\psi_j)\subseteq K\) for alle \(j\).
(Dette definerer konvergens i \(C_c^k(\Omega)\).)

2. Konkluder fra dette at formelen for delvis integrasjon \(\int_\Omega (D^\alpha f) \psi \,d^nx = (-1)^{\lvert\alpha\rvert}\int_\Omega f D^\alpha \psi \,d^nx\) holder for enhver \(\psi\in C_c^k(\Omega)\), der \(f \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)\) har en svak derivert \(D^\alpha f\).

3. Vis produktregelen \(\nabla(fg)=g\nabla f+f\nabla g\) der \(f \in W^{1,1}_{\text{loc}}(\Omega)\), \(g\in C^1(\Omega)\), og \(\nabla(fg)\) and \(\nabla f\) er svake gradienter.

4. Dersom \(f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)\) har en svak derivert \(D^\alpha f\), vis at \(D^\alpha(f*\psi)=(D^\alpha f)*\psi\) for hver \(\psi\in C_c^k(\mathbb{R}^n)\), forutsatt at \(\lvert\alpha\rvert\le k\).

Dersom \(f \in C(\mathbb{T}^n)\) og \(u \in C^2(\mathbb{T^n})\) er en klassisk løsning av \(-\Delta u=f\), vis at \(\int_{\mathbb{T}^n}f\,d^x=0\).

Skriv \(H^m_{\perp}(\mathbb{T}^n)=\{f \in H^m(\mathbb{T}^n) | \int_{\mathbb{T}^n} f\,d^nx=0\}\). (Ikke-standard notasjon. Dette rommet er ortogonalkomplementet til konstantfunksjonenene.)

Dersom \(f \in H^0_{\perp}(\mathbb{T}^n)\), skriv \(\mathcal{D}_f[u]=\int_{\mathbb{T}^n}(\tfrac12\lvert\nabla u\rvert^2+uf)\,d^nx\) for \(u \in H^1_{\perp}(\mathbb{T}^n)\). Skriv opp og vis en versjon av Dirichlets prinsipp for svake løsninger av \(-\nabla u=f\) i \(H^1_{\perp}(\mathbb{T}^n)\), og vis at dette problemet har en entydig løsning.

Du trenger «bare» å gjenta beviset for det vanlige Dirichletprinsippet, med visse justeringer. Det største hinderet er at det finnes ingen Poincaré-ulikhet i \(H^1(\mathbb{T}^n)\). (Konstantfunksjonene er et moteksempel.) Men det finnes en slik ulikhet i \(H^1_{\perp}(\mathbb{T}^n)\), og det er alt som trengs. Du kan vise det med Fourier-analyse. Det er lettere enn det ser ut til før du har begynt – prøv det!