Vink til Maple TA-øving 8 - wiki.math.ntnu.no

1. Sannsynlighetsberegninger med gjennomsnitt

Nøkkelteorem:

Teorem 8.2 s. 234 – sentralgrenseteoremet. Gjennomsnitt og summer (av et tilfeldig utvalg) er tilnærmet normalfordelt når \(n\) er stor.

a

\(\bar X\) er tilnærmet normalfordelt. Standardiser på vanlig måte: \(P(\bar X>c)=P\left(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}>\frac{c-\mu}{\sigma/\sqrt n}\right)\approx P\left(Z>\frac{c-\mu}{\sigma/\sqrt n}\right)\), der \(Z\) er standardnormalfordelt. Bruk tabell s. 1–2.

La du merke til noe spesielt?

Her var \(c=\mu\), slik at du skal finne \(P(Z>0)\). Du trenger egentlig ikke noen tabell.

b

\(P(\lvert\bar X-\mu\rvert\gt c)=P(\bar X-\mu\lt -c)+P(\bar X-\mu\gt c)\)

\(=P\left(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\lt -\frac c{\sigma/\sqrt n}\right)+P\left(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\gt\frac c{\sigma/\sqrt n}\right)\approx P\left(Z\lt-\frac c{\sigma/\sqrt n}\right)+P\left(Z\gt \frac c{\sigma/\sqrt n}\right)\)

\(=2P\left(Z\lt-\frac c{\sigma/\sqrt n}\right)\). Bruk tabell s. 1–2.

2. Telefon til Petters Pizza

Nøkkelteorem:

Teorem 8.2 s. 234 – sentralgrenseteoremet. Gjennomsnitt og summer (av et tilfeldig utvalg) er tilnærmet normalfordelt når \(n\) er stor.

La \(X_i\) være antall ganger Audun må ringe dag \(i\). Hvilken fordeling er det rimelig å anta at \(X_i\) har?

Geometrisk med parameter \(p\), den oppgitte sannsynligheten for at Audun når gjennom på telefon. Hva er forventningsverdi og varians?

\(EX_i=\mu=1/p\), \(\operatorname{Var}X_i=\sigma^2=(1-p)/p^2\) (teorem 5.3 s. 160). Hva er en tilnærmet fordeling for \(\bar X\)?

Normalfordelt med parametre \(\mu\) og \(\sigma^2/n\), der \(n\) er antall dager oppgitt i oppgaven. Regn ut som i vinket til 1a.

3. Koboltinnhold: forventningsverdi og varians til estimator

For en eksponentielt fordelt variabel er variansen kvadratet av forventningsverdien.

Estimatoren i oppgaven er gjennomsnittet av \(n\) uavhengige eksponentielt fordelte variabler. Bruk regler for forventningsverdi og varians av lineærkombinasjon (hvis du ikke husker hva forventningsverdi og varians av gjennomsnitt blir generelt).

4. Basketball

a

Jo gjør straffekast, han kaster \(n\) ganger, i hvert kast sjekker han om han treffer eller ikke, og sannsynligheten for å treffe er den samme i hvert kast. Hvilken fordeling har da antall treff (suksesser)? Når du finner den fordelingen, er det bare å bruke at \(P(X> x)=1-P(X\le x)\) og slå opp i tabell eller bruke MATLAB. I MATLAB regner du ut \(P(X\leq c)\) ved binocdf(c,n,p), der parametrene er \(n\), antall forsøk, og \(p\), suksessannsyligheten.

b

NB: For å få korrekt svar må du ikke gjøre såkalt heltallskorreksjon (kontinuitetskorreksjon) i denne oppgaven. Du må også bruke normaltilnærming av et uttrykk av form \(1-P(\bar X\leq c)\), ikke av form \(P(\bar X\geq c+1)\).

Nøkkelteorem:

Teorem 8.2 s. 234 – sentralgrenseteoremet. Gjennomsnitt og summer (av et tilfeldig utvalg) er tilnærmet normalfordelt når \(n\) er stor.

Vi har en binomisk situasjon med \(n\) forsøk og suksessannsynlighet \(p\). Vi kan tenke oss at hvert av de \(n\) forsøkene kan beskrives av en stokastisk variabel \(I_i\), som er binomisk fordelt med ett forsøk. Vi kaller ofte \(I_i\) en indikatorvariabel, og den kan bare ta verdiene \(0\) eller \(1\). Poenget er nå at \(X=\sum_{i=1}^nI_i\), altså en sum av uavhengige variabler med samme fordeling, altså tilnærmet normalfordelt ifølge sentralgrenseteoremet. Forventningsverdi og varians er som i binomisk fordeling.

Vil du lese litt mer så velg «Sentralgrenseteoremet og normalfordeling» og så «Eksempel: normaltilnærming til binomisk fordeling» fra temasiden Viktige kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

5. Kombinere to ledd for å få en god estimator

Hvis estimatoren skal være forventningsrett, gir det en begrensning på \(a\) og \(b\). Regn ut forventningsverdien til estimatoren uttrykt ved \(a\) og \(b\), og sett den lik det du vil estimere (estimatoren skal jo være forventningsrett). Du kan dermed uttrykke \(b\) ved hjelp av av \(a\).

Deretter ser du på variansen til estimatoren uttrykt ved \(a\). Velg \(a\) slik at variansen minimeres. Det kan du f.eks. gjøre ved å derivere variansen som en funksjon av \(a\) og sette lik \(0\) for å finne ekstremalpunkt. Er dette ekstremalpunktet et minimum, så er du i mål.

6. Varians av estimator

Kan \(\hat\theta_1\) være forventningsrett?

Nei, \(P(\hat\theta_1<\theta)=1\), så \(\hat\theta_1\) er faktisk alltid mindre enn \(\theta\), og kan intuitivt ikke være forventningsrett for \(\theta\). Du kan også finne sannsynlighetstettheten for \(\hat\theta_1\) ved teorien for ordningsvariabler, og finne forventningsverdien ut fra definisjonen. Du vil da finne at \(E\hat\theta_1=\frac n{n+1}\).

Er \(\hat\theta_2\) forventningsrett?

Du finner forventningsverdi og varians til en uniformt fordelt variabel på s. 172 i læreboka, eller du kan se under Uniform fordeling under Viktige kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger i temasidene.

Videre:

\(E\hat\theta_2=E(2\bar Y)=2E\hat Y=2EY_i=2\cdot\frac\theta2=\theta\), så \(\hat\theta_2\) er forventningsrett. Hva med variansen?

\(\operatorname{Var}(\hat\theta_2)=\operatorname{Var}(2\bar Y)=4\operatorname{Var}\bar Y=4\cdot\frac 1n\operatorname{Var}Y_i=\cdots\)

Hvis du har tid:

Finn også \(\operatorname{Var}\hat\theta_1\) og sammenlikn med \(\operatorname{Var}\hat\theta_2\)! Er det opplagt hvilken av estimatorene du vil foretrekke?