Vink til Maple TA-øving 7
1. Gå til jobb
1. Gå til jobb
Nøkkelteorem:
Nøkkelteorem:
Teorem 7.11 s. 221. Tips: Istedenfor å huske hele teoremet: Husk bare at lineærkombinasjoner av uavhengige normalfordelte variabler er normalfordelte. I tillegg må du huske de generelle reglene for forventningsverdi av lineærkombinasjoner av stokastiske variabler og for varians av lineærkombinasjoner av uavhengige stokastiske variabler: \(E(a_1X_1+\cdots+a_nX_n)=a_1EX_1+\cdots+a_nEX_n\) (står ikke direkte i boka, men følger fra korollar 4.2 og teorem 4.6 (eller korollar 4.4) s. 120–130) og \(\operatorname{Var}(a_1X_1+\cdots+a_nX_n)=a_1^2\operatorname{Var}X_1+\cdots+a_n^2\operatorname{Var}X_n\) (korollar 4.11 s. 133).
a
a
Her består lineærkombinasjonen av to ledd:
Her består lineærkombinasjonen av to ledd:
Koeffisientene er 1 og 1, dvs. en sum av to uavhengige normalfordelte variabler. Finn parametrene til summen, og gå fram som i oppgave 1 i TA-øving 6.
b
b
Dette er en lineærkombinasjon av fire uavhengige normalfordelte variabler (hvis det er gjennomsnittet over fire dager det spørres om i oppgaven. Finn parametrene til linærkombinasjonen:
Dette er en lineærkombinasjon av fire uavhengige normalfordelte variabler (hvis det er gjennomsnittet over fire dager det spørres om i oppgaven. Finn parametrene til linærkombinasjonen:
\(E(\frac14(X_1+X_2+X_3+X_4))=\frac14(EX_1+EX_2+EX_3+EX_4)=\frac14\cdot4EX_i=X_i\), \(\operatorname{Var}(\frac14(X_1+X_2+X_3+X_4))=(\frac14)^2(\operatorname{Var}X_1+\operatorname{Var}X_2+\operatorname{Var}X_3+\operatorname{Var}X_4)=(\frac14)^2\cdot4\operatorname{Var}X_i=\frac14\operatorname{Var}X_i\)
c
c
Det spørres om sannsynligheten for en sannsynlighet av typen \(X\lt Y\). Hendelsen kan skrives om:
Det spørres om sannsynligheten for en sannsynlighet av typen \(X\lt Y\). Hendelsen kan skrives om:
Nemlig til \(X-Y<0\). Pass på når du finner \(\operatorname{Var}(X-Y)\)!
2. Transformasjon
2. Transformasjon
a
a
Uttrykk hendelsen du skal finne sannsynligheten for ved \(X\). Skriv hendelsen på form \(X\leq c\).
b
b
Uttrykk hendelsen du skal finne sannsynligheten for ved \(X\). Skriv hendelsen på form \(X\leq c\).
3. Salg i elektronikkbutikk
3. Salg i elektronikkbutikk
Tenk på salg av artikkelen som en poissonprosess. Hva er intensiteten (raten) i prosessen? Hva er sannsynlighetsfordelingen for antall salg på \(t\) uker hvis intensiteten i poissonprosessen er \(\lambda\)?
Tenk på salg av artikkelen som en poissonprosess. Hva er intensiteten (raten) i prosessen? Hva er sannsynlighetsfordelingen for antall salg på \(t\) uker hvis intensiteten i poissonprosessen er \(\lambda\)?
Poissonfordelt med forventningsverdi (parameter) \(\lambda t\).
4. Skjørt armbånd
4. Skjørt armbånd
a
a
La \(T_i\) være tida det tar før tjukk ring nr. \(i\) går i stykker. Hva er \(P(\operatorname{min}T_i\gt t)\)?
La \(T_i\) være tida det tar før tjukk ring nr. \(i\) går i stykker. Hva er \(P(\operatorname{min}T_i\gt t)\)?
\(P(\operatorname{min}T_i\gt t)=P(\text{alle $t_i\gt t$})=(P(T_i\gt t))^n\), der \(n\) er antall tjukke ringer. Eller du kan bruke resultater fra notatet om ordningsvariabler.
La \(S_j\) være tida det tar før tynn ring nr. \(j\) går i stykker. Hva er det det spørres om i oppgaven?
La \(S_j\) være tida det tar før tynn ring nr. \(j\) går i stykker. Hva er det det spørres om i oppgaven?
\(P(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\gt t)=P(\operatorname{min}T_i\gt t\cap\operatorname{min}S_j\gt t)\), der \(t\) er tida oppgitt i oppgaven. Hvordan regner jeg ut det?
\(P(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\gt t)=P(\operatorname{min}T_i\gt t\cap\operatorname{min}S_j\gt t)\), der \(t\) er tida oppgitt i oppgaven. Hvordan regner jeg ut det?
Husk at \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) når \(A\) og \(B\) er uavhengige hendelser.
b
b
Du skal finne \(E\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\), forventningsverdien av minimum av alle \(T_i\) (tid før tjukk ring nr. \(i\) går i stykker) og alle \(S_j\) (tid før tynn ring nr. \(j\) går i stykker). Hva er fordelingen til \(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\)?
Du skal finne \(E\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\), forventningsverdien av minimum av alle \(T_i\) (tid før tjukk ring nr. \(i\) går i stykker) og alle \(S_j\) (tid før tynn ring nr. \(j\) går i stykker). Hva er fordelingen til \(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\)?
Finn \(P(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\gt t)\) som i a. Hva blir kumulativ fordelingsfunksjon til \(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\)? Gjenkjenner du den som kumulativ fordelingsfunksjon til en kjent fordelingsklasse?
Finn \(P(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\gt t)\) som i a. Hva blir kumulativ fordelingsfunksjon til \(\operatorname{min}\{T_i,S_j\}\)? Gjenkjenner du den som kumulativ fordelingsfunksjon til en kjent fordelingsklasse?
Det er kumulativ fordelingsfunksjon til en eksponentiell fordeling.
5. Torstein på kasino
5. Torstein på kasino
a
a
Skriv ulikheten du skal finne sannsynligheten for på form \(X\lt x\). Hvordan finner jeg sannsynligheten for dette?
Skriv ulikheten du skal finne sannsynligheten for på form \(X\lt x\). Hvordan finner jeg sannsynligheten for dette?
Som et integral av sannsynlighetstettheten til \(X\).
Alternativ: Du kan også finne sannsynlighetstettheten til \(Y\) ved hjelp teorien for transformasjon av stokastiske variabler, og finne sannsynligheten ved bruk av denne tettheten. Det blir nok noe mer arbeid.
b
b
Teorem 4.1 s. 114. Hvis du fant tettheten til \(Y\) i a, kan du eventuelt bruke definisjon 4.1 s. 112 (med \(f\) lik tettheten til \(Y\)) i stedet.
6. Forventningsverdi ved hjelp av momentgenererende funksjon
6. Forventningsverdi ved hjelp av momentgenererende funksjon
Finn momentgenererende funksjon, \(M(t)\), ved definisjon 7.2 s. 218. (Du må anta at \(t\lt 1\) for at integralet skal konvergere.) Bruk så teorem 7.6 s. 218.