Kombinatorikk-regning (telleregler for sannsynlighet)

Her følger en rekke regneregler og prosedyrer
Denne siden er under utarbaidelse, og derfor ikke komplett!

Regneregler

Trykk på de grå feltene for mer informasjon.

-Sannsynlighet i en uniform sannsynlighetsmodell \[P(\text{situasjon})= \frac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}}\]

Denne formelen brukes ofte til å regner på sannsynligheter. Den er kun gyldig under forutsetningen om at de underliggende enkelthendelsene er uniforme/like, med lik sannsynlighet.

Eksempel
Hva er sannsynligheten for at noen er født på en mandag? Det er 7 mulige dager i uken, 1 gunstig dag (hvor gunstig betyr at situasjonens betingelser er oppfylt). Derfor er sannsynligheten 1/7.

Eksempel
Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person er født i september? Er den 1/12, fordi det er 1 gunstig måned og 12 mulige måneder? Nei! Månedene er ikke uniformfordelte, de er ikke like!

Hvis vi ser bort fra skuddår blir det 30 dager i september (gunstige), delt på 365 dager totalt i året (mulige), altså \(P = 30/365 \approx 0.082 \).

Relevante videoer:

Hva er sannsynligheten for å få eksakt 8 på to terninger? (3 min, Bakka)

- Telling når rekkefølgen er interessant \[ n (n-1) (n-2) … (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Denne formelen beskriver:

På hvor mange måter du kan velge \(k \) fra \(n \) ting, i rekkefølge.
Du har \(n \) forkjellige folk og skal velge 1. plass, 2. plass , …, k. plass. På så mange måter kan dette resultatet se ut.

Relevante videoer:

Om \(n! \): TedEx om kortstokk (4 min, TedEx)

- Telling når vi ikke bryr oss om rekkefølgen \[ {n \choose k} = {n \choose k, n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

På hvor mange måter du kan velge \(k \) fra \(n \) ting, når rekkefølgen ikke teller.
Du har \(n \) forkjellige folk og skal velge ut et lag med \(k \) spillere. På så mange måter kan dette laget se ut.
Merk at det å velge ut en gruppe på \(k \) er det samme som å velge ut gruppen på \(n-k \) nemlig "de som ikke får være med".
Dette kalles Binomialkoeffisienter på fagspråket

Multinomial
Vi kan dele opp i mer enn 2 grupper (de som blir tatt ut og de som står igjen), for eksempel 4 grupper. Da skriver vi opp alle gruppene \(k_1, k_2, k_3, k_4\). Disse må summere til \(n\), slik at \(k_4 = n-k_1-k_2-k_3\). Antall mulige situasjoner blir da \[ {n \choose k_1, k_2, k_3, k_4} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!k_4!} \]

Eksempel
Antallet måter å starte med 13 mennesker og lage 2 bord med 2 personer, 1 bord med 3 personer, og et restbord med 6: \[ {13 \choose 2,2,3,6 } = \frac{13!}{2!2!3!6!} = {13 \choose 2}{11 \choose 2}{9 \choose 3} \]

Merk: I uttrykket til høyre kan vi gange med \({6 \choose 6} \) også, men dette er jo 1.

Sjekk selv: Sjekk at uttrykket midt mellom de to likhetstegnene faktisk er det samme som høyresiden. Litt regning.

Eksempel
Antallet måter å starte med 13 mennesker og lage 1 bord med 4 personer og 1 bord med 3 personer, og et restbord med 6: \[ {13 \choose 4,3,6 } = \frac{13!}{4!3!6!} = {13 \choose 4}{9 \choose 3} \]

Merk: Legg merke til forskjellen på disse to eksemplene; de to bordene med to personer har blitt slått sammen.

Relevante videoer:

Multippel gruppeinndeling - Tress i poker (10 min, Bakka)

Prosedyrer

- Hvordan avgjøre om rekkefølgen skal telle (eller ikke)?

Det er her flere alternativer, avhengig av oppgaven:

Det kommer tydelig frem av oppgaven
Du må lese det mellom linjene (fra konteksten)
Det er mulig å gjøre på begge måter (med og uten rekkefølge)
Det er teoretisk mulig å gjøre det på begge måter, men bare en av dem vil være regnemessig gjennomførbar

Konklusjon: Prøv deg frem. Vær logisk og forsiktig i tankeprosessen så du ikke gjør noe ulovlig.

Eksempel:
Hvis du skal finne sannsynligheten for å vinne på 3 lodd, gitt at det finnes 100 lodd totalt, og 2 av dem gir gevinst, kan du enten

Trekke 1 lodd om gangen, og kalle dem lodd nummer 1, lodd nr 2 og lodd nr 3, eller
Trekke 3 lodd på en gang, slik at det ikke er en definert rekkefølge.

Prøv alltid begge fremgangsmåtene når de gir mening! Da lærer du hva som funker når.