PDE 13: 2D Stasjonær adveksjon-diffusjonsligning

Gitt et divergensfritt vektorfelt \(\mathbf{V}\) (dvs \(\nabla\cdot \mathbf{V}=0\) ) på kvadratet \(0\leq x\leq 1 , 0\leq y\leq 1 \). Se på ligningen

\[\nu \nabla^2 u + \mathbf{V}\cdot\nabla u = 0 \]

Vi trenger randbetingelser, la randen \(\Gamma=\Gamma_D\cup\Gamma_N\) som på figuren \[\Gamma_D=\{(x,0), 0\leq x\leq 1\}\cup \{(0,y), 0\leq y\leq 1\}, \] \[\Gamma_N=\{(x,1), 0\leq x\leq 1\}\cup \{(1,y), 0\leq y\leq 1\}. \]

Vi skal anta at \(u(x,y)=u^*=\mbox{konst}\) når \((x,y)\in\Gamma_D\) og \(\nabla u\cdot\vec{n}=0\) når \((x,y)\in\Gamma_N \) der \(\vec{n}\) er en utadrettet enhetsnormalvektor. Fra Matematikk 2 skal du kunne ha en ide om hvordan du konstruerer divergensfrie vektorfelt i \(\mathbf{R}^2,\) men du kan også spørre om dette.

Google-åte: Stationary, advection, diffusion.