PDE 12: Den biharmoniske ligningen

Vi ser på det inhomogene tilfellet

\[\Delta^2 u = f(\mathbf{x}),\qquad \mathbf{x}\in\Omega \]

med \(\Omega\subset\mathbf{R}^d \). Her er \(\Delta\) Laplace-operatoren. Løsningen underkastes randbetingelser

\[u(\mathbf{x})=\Delta u(\mathbf{x})=0, \quad \mathbf{x}\in\partial\Omega \]

Spesielt skal du nøye deg med å se på tilfellet \(d=2\), dvs. \(\mathbf{x}=(x,y) \), og la i første omgang \(\Omega\) være et rektangel. I kartesiske koordinater er

\[\Delta^2 u = u_{xxxx}+2u_{xxyy}+u_{yyyy} \]

Får du tid kan du også la \(\Omega\) være en disk med radius \(1\) , og se på ligningen i polarkoordinater.

Google-åte: Biharmonic equation, thin plate, biharmonic operator, Laplacian, Matlab numgrid, Matlab delsq.