PDE 6: Perona–Malik-ligningen

\[u_t = \nabla\cdot\left( g\left(|\nabla u|\right)\nabla u\right),\qquad u(\mathbf{x},0)=f(\mathbf{x}).\]

Denne ligningen trenger litt mer forklaring. For det første har vi formulert den i et vilkårlig antall romdimensjoner. Med \(|\nabla u|\) mener vi lengden til gradientvektoren, i en dimensjon blir den \(|u_x|\) mens i to dimensjoner blir den \(\sqrt{u_x^2+u_y^2}\). Funksjonen \(g:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) er i utgangspunktet uspesifisert, når du studerer hvor ligningen kommer fra og hva den brukes til vil du finne hva som er typiske valg av \(g\) . Man kan sette \(g(s) = \frac{1}{1+s^2}\) som et standardvalg.

1D. I en romdimensjon får ligningen formen \[u_t = (g(|u_x|)u_x)_x \] Initialdataene spille en viktig rolle i anvendelsen, som et utgangspunkt kan du forsøke å la \(0\leq x\leq 6\) og se på den trappelignende initialfunksjonen \(u(x,0)=f(x)\) der \[f(x)=5-\tanh \left(\alpha(x-1)\right) -\tanh \left(\alpha(x-2)\right) +\tanh \left(\alpha(x-4)\right)+\tanh\left(\alpha(x-5)\right) + 0.1\, \sin^2 5\,x \sin 50\,x \] Sett f.eks. \(\alpha = 30\) og bruk randbetingelser \(u(0,t)=u(6,t)=5\). Det holder å integrere ganske kort i tid.

Google-åte: Perona-Malik equation, image restoration, diffusion equation, edge enhancement.