Forelesningslogg
Under følger en kort oversikt over hva som har blitt gjennomgått i de forskjellige forelesningene.
| Dato | Forel. | Tema | Omtrentlig i litteratur |
|---|---|---|---|
| 17.08 | GS | Om kurset. Generelt om numerikk: «datamaskiner og tall» — flyttallssystemer. Iterasjonsmetoder: Fikspunktiterasjon. Teorem for konvergens bevist. Eksempel på bruk neste gang. | K. 19.1–19.2 |
| 20.08 | HH | Eksempel 2, s. 798. Newtons metode, eksempel 3, s. 800. Konvergensorden. Sekantmetoden. Partiellderiverte for funksjoner av to variable. Eksempler. | K. 19.2. Notat om Newtons metode. |
| 24.08 | GS | Newtons metode for systemer, med eksempler. Interpolasjon generelt. Interpolasjonspolynom funnet ved invertering av Vandermonde-matrisen, og med Lagranges metode. | Notat om Newtons metode for systemer, K. 19.3 |
| 27.08 | GS | Interpolasjon med Newtons dividerte differenser. Interpolasjonspolynomer gir metoder for numerisk integrasjon. Polynomer av grad 0: Rektangelmetoden. Polynomer av grad 1: Trapesmetoden. Neste gang: Polynomer av grad 2 gir Simpsons metode. | K. 19.3, 19.5 |
| 31.08 | HH | Simpsons metode. Feilestimat for Simpsons metode. Numerisk stabilitet. Eksempel 3 (s. 830) og Eksamensoppgave nr. 5 den 9. aug. 2006. Numerisk derivasjon. | K. 19.5 |
| 3.09 | HH | Gauss-eliminasjon. Orden til metoden. LU-faktorisering. Doolittles metode, Choleskys metode. Gauss-Jordan eliminasjon. Gauss-Seidel og Jacobi iterasjon. Laplace-transform. Linearitet og eksempler. | K. 20.1-20.2, 6.1 |
| 7.09 | HH | Regnet ut Laplace-transformen \(\mathcal{L}(\sin)\), \(\mathcal{L}(\cos)\), og \(\mathcal{L}(t\mapsto t^a)\) (introduserte også \(\Gamma\)-funksjonen for å finne den sistnevnte). Regnet eksempel 1 (s. 212 og eksempel 4 (s. 214). Gikk gjennom hovedpoenget i eksempel 6 (s. 216). Tok nesten hele eksempel 1 (s. 220). | K. 6.1-6.3 |
| 10.09 | HH | Regnet resten av eksempel 1 (s. 220). Gjennomgikk eksamensoppgave nr. 1 des. 2003. Gjennomgikk Diracs delta-funksjon (avsn. 6.4), og eksempel 1 og 2 (s. 227) | K. 6.3-6.4 |
| 14.09 | GS | Konvolusjon definert, og egenskaper og oppførsel under Laplace-transformasjon vist. Eksempler på bruk i løsning av integralligninger. Derivasjon og integrasjon av Laplace-transformerte. Snakket om løsning av systemer av ODE-er med Laplace-transformasjon, men dette (K. 6.7) leses selv. | K. 6.5–6.7. |
| 17.09 | GS | Periodiske funksjoner definert. Vektorrommet av \(2\pi\)-periodiske stykkevis kontinuerlige funksjoner skissert, og skalarproduktet her definert. Basis med sinus- og cosinus-funksjoner gitt, og ortogonalitet vist. Fourier-rekker er projeksjon av periodiske funksjoner på denne basisen. Eksempler på utregning og bruk. Oppførsel i diskontinuitet demonstrert. Tilnærming av funksjoner med trunkerte Fourier-rekker vist på slides. Gibbs-effekt demonstrert. | K. 11.1 |
| 21.09 | HH | Regnet eksamensoppg.nr. 2 fra aug. 2004. Gjennomgikk Fourier-rekker for funksjoner med vilkårlig periode, odde og like funksjoner, og "half range expansions". | K. 11.2. |
| 24.09 | HH | Gjennomgikk resten av "half range expansions", løste 2. ordens ordinære differensialigninger med periodisk inhomogent ledd, og viste approksimasjon med trigonometriske polynomer. Tok eksempel på bruk av Parsevals identitet. | K. 11.2-11.4. |
| 28.09 | HH | Gjennomgikk overgangen fra Fourier-rekker til Fourier-integraler. Gjennomgikk eksempel 2, s. 513-514, og eksempel 3, s. 516. Gjennomgikk seksjon 11.8. | K. 11.7-11.8. |
| 01.10 | GS | Kompleks form av Fourier-rekker og Fourier-integraler. Fourier-transformasjon definert, og grunnleggende egenskaper vist. Eksempler: Fourier-transformasjon til konstantfunksjonen på et intervall, og til normalfordelingsfunksjonen. | Notat om komplekse Fourier-rekker, K. 11.9 |
| 05.10 | GS | Tolkning av \(|\hat{f}|^2\) i noen anvendelser (se animasjoner). DFT og FFT. Kjerneregelen for flervariabelfunksjoner. Gradient og retningsderivert1) definert. | K. 11.9, K. 9.6–9.7 |
| 08.10 | GS | Partielle differensialligninger generelt. Bølgeligningen \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) med \(u(0,t)=u(L,t)=0\) som randbetingelsr spesielt: Påbegynt løsning ved hjelp av variabelseparasjon (lineærkombinasjoner av løsninger på formen \(u(x,t) = F(x)G(t)\)). Fullføres neste gang. | K. 12.1–12.2. |
| 12.10 | GS | Løsning av bølgeligning ved hjelp av variabelseparasjon fullført. D'Alemberts løsning av bølgeligningen. Løsning av varmeligningen \(\frac{\partial u}{\partial t} = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) med \(u(0,t)=u(L,t)=0\) som randbetingelser. Både bølge- og varmeligningens løsning demonstrert med animasjoner. | K. 12.3–12.4, 12.5 |
| 15.10 | TBR | Varmeligningen med isolerte render. Laplaces ligning, \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\). Påbegynt varmeligningen for uendelig lange legemer. | K. 12.6 – 12.7 |
| 19.10 | GS | Varmeligningen for uendelige lange legemer, ved hjelp av Fourier-integraler og ved hjelp av Fourier-transformasjon. Eksempel på anvendelse av metodene vi har lært på «ukjent» PDE (hentet fra kont 1995). | K. 12.7 |
| 22.10 | GS | Om numerisk løsning av ODEer spesielt. Eulers metode med eksempel. Heuns metode med eksempel fra kont 2004, oppgave 6. Butcher-tabeller spesifiserer Runge–Kutta-metoder generelt. RK4. Litt om stabilitet av Runge–Kutta-metoder, eksempler på stabilitetsområder. | K. 21.1, notat om Butcher-tabeller, notat om stabilitet. |
| 26.10 | HH | Stabilitet for forlengs og baklengs Euler-metode. Regnet eks. 4, s. 906. Vist hvordan vilkårlige høyere ordens ordinære differensialligninger kan reduseres til et første ordens system. Regnet eksempel 1, s. 913 og eksempel 4, s. 917. | K. 21.1, 21.3 |
| 29.10 | GS | Kort repetisjon av RK-metoder. Dobbelpendelen, et enkelt fysisk system med meget komplisert oppførsel, løst med RK4. Introduksjon til numerisk løsning av PDE-er. Begynner med parabolske ligninger, med varmeligningen som illustrasjon. En eksplisitt metode gjennomgått, med eksempel (kont 2012, oppgave 6). | K. 21.4, 21.6 |
| 02.11 | GS | Crank–Nicolsons metode for parabolske PDE-er (varmeligningen som eksempel), samt regneeksempel (eksamen høst 2007, oppgave 7a). Fempunktsformelen for elliptiske PDE-er, med Poissons ligning som eksempel. Eksempel på utregning i ikke-rektangulært område (eksamen høst 2012, oppgave 6). | K. 21.4, 21.6, notat om Crank–Nicolson |
| 05.11 | GS | Numerisk løsning av hyperbolske PDE-er med bølgeligningen som eksempel. Oppsummering. | K. 21.7 |
| 09.11 | GS | Repetisjon og spørsmål. | |
| 12.11 | GS | Repetisjon og spørsmål. | |
| 16.11 | HH | Repetisjon og spørsmål. | |
| 23.11 | GS | Repetisjon og spørsmål. |
1)
Feil konvensjon i forelesning 05/10: Jeg definerte retningsderivert \(D_\mathbf{a}f\) for en vilkårlig vektor \(\mathbf{a}\neq 0\). For å holde oss til Kreyszigs konvensjoner, burde vi heller ha definert begrepet kun når \(\mathbf{a}\) er enhetsvektor, altså kun når \(\lVert\mathbf{a}\rVert = 1\). Vi lar dette være definisjonen videre.