Forelesningslogg
Under følger en kort oversikt over hva som har blitt gjennomgått i de forskjellige forelesningene.
| Dato | Forel. | Tema | Omtrentlig i litteratur |
|---|---|---|---|
| 20.08 | GS | Generelt om numerikk: «datamaskiner og tall» — flyttallssystemer. Iterasjonsmetoder: Fikspunktiterasjon. | K. 19.1–19.2 |
| 21.08 | GS | Newtons metode (Newton–Raphson) og sekantmetoden. Konvergensorden. Kort om partiellderivasjon. Newtons metode for systemer (ikke helt avsluttet). | K. 19.2, K. appendiks 3.2. Notat om Newtons metode for systemer. |
| 27.08 | GS | Newtons metode for systemer ferdigstilt. Interpolasjonspolynomer generelt, og Lagranges metode og Newtons dividerte differensers metode spesielt. | K. 19.3 |
| 28.08 | GS | Newtons dividerte differenser ferdigstilt. Polynominterpolasjon gir metoder for numerisk integrasjon: Rektangelregelen (0. grad), trapesregelen (1. grad) og Simpsons metode (2. grad). | K. 19.5 |
| 3.09 | HH | Utledet feilestimat og stabilitet for Simpsons metode. Sett på feilestimat ved å halvere skrittlengden. Regnet Eksamensoppg. nr. 5 fra den 9. aug. 2006. Nevnt numerisk derivasjon. Gjennomgått et eksempel med Gauss-eliminasjon og et eksempel med LU-dekomponering. | K. 19.5, K. 20.1–20.2 |
| 4.09 | HH | Gjennomgått et eksempel med Choleskys metode. Utledet Gauss-Seidels iterasjonsmetode. Introdusert matrisenormer. Vist Jacobi-iterasjon. Definert Laplace-transformen. Vist linearitet og regnet ut Laplace-transformen på konstanter, eksponentialfunksjoner, og lineære funksjoner. | K. 20.2–20.3, K. 6.1 |
| 10.09 | GS | Repetisjon av definisjon av Laplace-transformasjon. Mål: Løse differensialligninger. Må først forstå hvordan transformere enkle funksjoner, og hvordan kombinere disse. Viste eksistens og entydighet av Laplace-transformasjon. Fant flere elementære byggesteiner: \(\mathcal{L}(\sin)\), \(\mathcal{L}(\cos)\), \(\mathcal{L}(\sinh)\), \(\mathcal{L}(\cosh)\) og \(\mathcal{L}(t\mapsto t^a)\) (introduserte også \(\Gamma\)-funksjonen for å finne den sistnevnte). Viste første forskyvningsteorem («s-skift-teoremet»). Eksempler på bruk av teoremet. | K. 6.1–6.2 |
| 11.09 | GS | Laplace-transformasjonen til deriverte. Differensialligninger (initialverdiproblem) løst ved hjelp av Laplace-transformasjon — eksempler (med delbrøksoppspalting). Laplace-transformasjon av integraler, med eksempel. Heavisides step-funksjon («enhetssprangfunksjon») og translatering av funksjoner. Viste andre forskyvningsteorem («t-skift-teoremet»). Eksempel på bruk av sistnevnte ble tatt altfor hastig, og gjentas neste gang. | K. 6.2–6.3 |
| 17.09 | GS | Repetisjon av andre forskyvningsteorem og Heavisides step-funksjon, samt mange eksempler (både fysiske og ikke) på bruk. Diracs delta-«funksjon» introdusert og oppførsel under integrasjon presentert som faktum uten bevis. | K. 6.3–6.4 |
| 18.09 | HH | Regnet eksempel 2 (s. 227-8) og Eksamen. aug. 2004, oppg.1 på bruk av Diracs delta-«funksjon». Definert konvolusjon, utledet konvolusjonsteoremet (ikke pensum), og gitt de viktigste egenskapene. Gjennomgått eksempel 5 (s. 235). Utledet formel (19 (s. 238) og (6) (s. 239) (ikke pensum). | K. 6.4–6.6 |
| 24.09 | GS | Kapittel 6 avsluttet med et eksempel på hvordan løse systemer av ODE-er med Laplace. Fourier-analyse påbegynt; hva er ideen? Hvor vil vi? Litt om periodiske funksjoner generelt, og om paritet (jevne/like og odde funksjoner). Noe uformelt: «Det trigonometriske system» er en ortogonal basis for et vektorrom av stykkevis kontinuerlige \(2\pi\)-periodiske funksjoner. Fourier-rekker for \(2\pi\)-periodiske funksjoner introdusert, og teorem for konvergens av disse gitt uten bevis. Eksempler på utregning, og på hvordan Fourier-delsummer oppfører seg. | K. 6.7, K. 11.1 |
| 25.09 | GS | Kort repetisjon av Fourier-rekker. Hvordan bruke konvergens av Fourier-rekker for å beregne rekker eksemplifisert med \(\sum_{n=1}^\infty 1/n^2\). Venstre- og høyre-grenser, middelverdier, venstre- og høyre-derivert introdusert. Utvidet teorem for å behandle Fourier-rekkers verdi i diskontinuitetspunkter. Eksempel på utregning, og på hvordan Fourier-delsummer for en diskontinuerlig funksjon oppfører seg («Gibbs-effekt»). Fourier-rekker for funksjoner med vilkårlig periodisitet (\(2L\)-periodiske funksjoner). «Snarveier» for like og odde funksjoner. Like og odde periodiske utvidelser kort introdusert. | K. 11.1–11.2 |
| 01.10 | GS | Halvintervallutvklinger og komplekse Fourier-rekker. Eksempler på bruk av begge deler. Merk også at jeg skrev noe galt på tavlen helt på slutten — se melding 01.10. | K. 11.2, Notat om komplekse Fourier-rekker |
| 02.10 | HH | Approksimasjon med trigonometriske polynomer, Bessels ulikhet og Parsevals teorem. Regnet oppg. 11 og 12 i avsnitt 11.4. Såvidt begynt å snakke om Fourier-integraler. | K. 11.4, 11.7 |
| 08.10 | HH | "Utledet" formelen for Fourier-integraler, og gjennomgått Teorem 1, s. 513. Gjennomgått Eks. 2 og 3. Utledet formelen for kompleks Fourier-transform. | K. 11.7, 11.9 |
| 09.10 | HH | Gjennomgått Eksempel 1, s. 524. Regnet Eksamen, høst 2007, oppg. 4. Vist linearitet, derivasjon og konvolusjon. Gjennomgått diskret Fourier-transform, og påpekt analogien med Fourier-rekker og Fourier-transformen. Bare nevnt FFT. | K. 11.9 |
| 15.10 | GS | Intermesso: Partiellderivasjon og kjerneregelen for funksjoner av flere variabler, samt retningsderivert. Geometrisk tolkning, og eksempler. | K. 9.6–9.7 |
| 16.10 | GS | Introduksjon til partielle differensialligninger med blant annet eksempler på ligninger og deres bruksområde. «Utledning» av (1D) bølgeligning fra fysiske antakelser som et eksempel på modellering av fysiske fenomener. Begynte å finne separable (\(u(x,t) = F(x)G(t)\)) løsninger for bølgeligningen. Fullføres neste gang. | K. 12.1–12.3 |
| 22.10 | GS | Løsning av bølgeligningen vha. separasjon av variabler (Fourier-rekker) ferdigstilt. Eksempel med spesifikk initialbetingelse \(f(x) = u(x, 0)\) håndtert og demonstrert. D'Alemberts løsning for bølgeligningen utledet. | K. 12.3–12.4 |
| 23.10 | GS | Eksempel på bruk av D'Alemberts løsning av bølgeligningen. Varmeledningsligningen med randtemperatur \(0\) løst vha. separasjon av variabler (Fourier-rekker). Eksempel med spesifikk initialbetingelse \(f(x) = u(x,0)\) håndtert og demonstrert. Varmeledningsligningen med isolerte render (romlig derivert lik \(0\)) løst vha. separasjon (Fourier-rekker). Eksempel med spesifikk initialbetingelse \(f(x) = u(x,0)\) håndtert og demonstrert. | K. (12.5)–12.6 |
| 29.10 | GS | Laplaces ligning med eksempler. Litt om typer randverdiproblemer (Dirichlet, Neumann, Robin). Det forekom noen mindre regnefeil som ikke umiddelbart ble korrigert, så se gjerne denne korreksjonen. | K. 12.6 |
| 30.10 | GS | PDE-er uten randbetingelser (uendelige legemer), eksemplifisert ved varmeledningsligningen/diffusjonsligningen. Løst vha. Fourier-integral og vha. Fourier-transformasjon. Fikk ikke tid til et eksempel på en «ukjent» PDE, men se notat med eksempel. | K. 12.7, notat |
| 05.11 | GS | Numerisk løsning av førsteordens ordinære differensialligninger: Eulers metode, forbedret Eulers metode (AKA Heuns metode), Runge–Kutta-metoder generelt, og RK4 spesielt. Litt diskusjon om stabilitet av RK-metoder. «Baklengs Euler» (implisitt metode) satt opp, men forklaring av bruk kommer neste gang. | K. 21.1, notat om stabilitet av Runge–Kutta-metoder |
| 06.11 | GS | Eksempel på bruk av baklengs Euler (introdusert forrige gang). Numerisk løsning av systemer av førsteordens ODE-er: Euler, Heun, RK4, baklengs Euler i utgave for systemer. Løsing av høyereordens ordinære differensialligninger ved å omforme til et system av førsteordens. Eksempler. | K. 21.1, 21.3 |
| 12.11 | HH | Endelig differanseskjema for elliptiske ligninger med Dirichlet randbetingelser. Regnet eksempel 1 (s. 923-4). Ikke gjennomgått ADI-metoden. Regnet eksamensoppgave 4, sommer 2004. | K. 21.4 |
| 13.11 | HH | Endelig differanseskjema for parabolske ligninger med Dirichlet randbetingelser. Gjennomgått Crank-Nicolson-metoden. Regnet eksamensoppgave 7, høst 2003. | K. 21.6 |
| 19.11 | HH | Regnet eksamensoppgavene 1-6, høst 2013. | K. hele |
| 20.11 | GS | Siste forelesning. Eksamen høst 2013, oppgave 6-7. Eksamen sommer 2014, oppgave 4a, 4b, 6a, 6b og 1 (basert på hva studentene fant vanskeligst på konten). | — |