Her blir det lagt ut notater i forkant og etterkant av forelesningene.

Vi fullfører og oppsummerer kapitlet om numeriske metoder for differensialligninger (Kap. 21). Deretter repeterer vi deler av pensum ved å regne gjennom noen gamle eksamensoppgaver. Se Beskjeder for liste av oppgaver. Fokus blir på fourierrekker, fouriertransformasjonen og løsing av PDEer via separasjon av variable.

Numeriske metoder for PDEer. Endelige differanser. ADI. Crank-Nicolson.

Intro: intro_uke15.pdf

Vi har kommet til kursets siste tema: numeriske metoder for ordinære og partielle differensialligninger.

Denne uken skal vi snakke om ODEer, kap. 21.1–21.3. Vi skal kikke på flere ulike metoder, og studere metodenes styrker og svakheter.

Eulers metode, forbedret Euler (Heuns), fjerdeordens Runge–Kutta, Adams–Bashforth, og Adams–Moulton. I tillegg skal vi se hvordan metodene kan utvides til systemer av ODEer.

Intro: intro_uke14.pdf

Denne uken gav en smakebit på numerisk lineær algebra (Kap. 20.1–20.3). Fokus var ulike metoder for å løse \(Ax=b\). Gauss-eliminasjon med delvis pivotering, LU-faktorisering (Doolittle og Crout), Cholesky-faktorisering, og iterative metoder (Jacobi og Gauss-Seidel).

Påskeferie

Vi fortsatte med polynominterpolasjon ved å formulere (det unike) nte-gradspolynomet som interpolerer n distinkte datapunkt på to ulike måter: skrevet på Lagrangeform og på Newtonform.

På Lagrangeform ser det slik ut:

\(p_n(x) = f_0 L_0(x) + f_1 L_1(x) + \cdots f_n L_n(x),\)

der \(L_i\)-ene er visse nte-gradspolynomer.

På Newtonform var det

\(p_n(x) = c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + c_n(x-x_0)\cdots (x-x_{n-1}), \)

der koeffisientene \(c_i\) kan skrives ved hjelp av Newtons dividerte differenser.

Interpolasjonspolynomene kan brukes til å tilnærme funksjoner og, som alltid når vi har en tilnærming, vi spør: "hvor stor er feilen?". Et estimat av denne ble funnet.

Deretter brukte vi polynominterpolasjon til å studere numerisk integrasjon og derivasjon. Vi fikk et gjensyn med to gamle kjenninger: trapesregelen og Simpsons regel. Vi kikket på hvor gode disse er ved å estimere feilen, og skisserte noen ideer om hvordan vi kan lage enda bedre metoder (adaptiv integrasjon, Gauss-kvadratur).

Link til en utledning av feilestimatet til Trapesregelen (bedre fremgangsmåte enn bokens):
An Elementary Proof of Error Estimates for the Trapezoidal Rule.
Bruk delvis integrasjon for å gå fra (3) til (2) og fra (4) til (3).

Her er MATLAB-implementasjonene av Trapes og Simpsons brukt under forelesningen:

• trapes.m
• simpsons.m

En liten utfordring: Skriv om scriptene til funksjoner som tar f, a, b og n som input.

Intro: intro_uke11.pdf

Vi fortsetter med diskusjonen av Newtons metode for å tilnærme løsninger av f(x) = 0. Vi vet hvordan den er definert, men hvor god er den? Konvergerer den? Isåfall, hvor fort? Vi skal finnes svar denne uken. Underveis møter vi viktige konsepter fra numerisk analyse.

I praksis møter man ofte systemer av ligninger
f(x,y) = 0
g(x,y) = 0.
Newtons metode kan utvides til slike systemer (som beskrevet i dette notatet).

En ulempe med Newtons metode er at den krever beregning av den deriverte f'. Dette kan fikses på ulike måter. En relativt enkel fiks gir oss sekantmetoden. Her er tangentene i Newtons metode erstattet med sekanter (se figur).

Til slutt skal vi se på interpolasjon (Kap. 19.2). Betrakter følgende problem: Gitt en mengde datapunkter, finn en funksjon som tilnærmer disse. Dersom vi krever at funksjonen går gjennom punktene kalles dette interpolasjon. Problemet er ikke veldefinert slik det står (uendelig mange løsninger). Vi skal presisere problemet og finne en god løsning ved hjelp av polynomer.

Matlab og Laplace

Vi startet på numerikk-delen av kurset. Nevnte litt fra Kapittel 19.1 (resten ble lesestoff), og studerte fikspunktiterasjon og gav tilstrekkelige betingelser for konvergens. Deretter kikket vi på Newtons metode (Kap. 19.2)

En enkel implementasjon av Newtons metode: newton_eksempel.m

TMA4123/4M hadde om Matlab, TMA4125/4N om Laplacetransformasjonen (Kap. 6) (med Erik Lindgren).

Intro: intro_uke8.pdf

Vi ser litt mer på løsningen av varmeligningen. Deretter bruker vi separasjon av variable til å løse Laplaceligningen (Kap. 12.6), som kan betraktes som varmeligningen i to dimensjoner (dersom situasjonen vi modellerer er tidsuavhengig).

For å kunne løse Laplaceligningen må vi kreve endel av randen til området vi løser den på, og også av randbetingelsene. Dette gir oss en god anledning til å diskutere ulike former for randverdiproblemer (Dirichlet, Neumann, blandet). Vi skal løse Laplaceligningen på et rektangel, med Dirichlet-randbetingelser.

Vi avslutter kapitlet om PDEer ved å løse varmeligningen definert over et uendelig område (dermed uten randbetingelser) ved hjelp av Fouriertransformasjonen. Vi vil benytte oss av derivasjonsreglene for fouriertransformasjonen, konvolusjon og fouriertransformasjonen til en gaussfunksjon. Se Fakta om fouriertransformasjonen. (Notatet har blitt oppdatert: fouriertransformasjonen til gaussfunksjoner er lagt til.)

Kurset splittes i to: TMA4123/4M skal få et kræsjkurs i Matlab, mens TMA4125/4N skal se på Laplacetransformasjonen (Kap. 6) med Erik Lindgren.

Intro: intro_uke7.pdf

Vi startet med å løse bølgeligningen ved hjelp av separasjon av variable. Du finner et sammendrag av fremgangsmåten her: pdesepvar.pdf. Deretter så vi på en annen løsningsmetode, som gav oss den såkalte d'Alemberts løsning av bølgeligningen (Kap. 12.4).

Fremgangsmåten i d'Alemberts løsning er spesialtilpasset bølgeligningen, mens separasjon av variable fungerer også på andre, viktige PDEer. Vi avsluttet med å bruke separasjon av variable til å løse varmeligningen (Kap. 12.6). Neste uke løser vi Laplaceligningen.

Vi lærte også hva det vil si at en PDE er elliptisk, hyperbolsk eller parabolsk.

Intro: intro_uke6.pdf

Vi fullførte kapittel 11 om fourieranalyse ved å se på Parsevals teorem for fouriertransformasjonen (også kalt Plancherels teorem). Se notatet Fakta om fouriertransformasjonen.

Vi kikket også på en anvendelse (blant mange) av fouriertransformasjonen: løsing av ordinære differensialligninger. I tillegg tok vi en smakebit på (den diskrete varianten av) fouriertransformasjonens mange anvendelser i signalbehandling. Dette var en appetittvekker for matlabdelen til 4M-varianten av kurset, der vi vil bruke den diskrete fouriertransformasjonen til å løse diverse signalbehandlingsproblemer.

Bruken av fouriertransformasjonen til å løse differensialligninger skal vi senere utvide til partielle differensialligninger (PDEer), som var neste tema på programmet.

Liste med noen viktige PDEer

Vi utviklet litt vokabular for å beskrive PDEer, så på den såkalte bølgeligningen, samt startet på en metode som kan brukes til å løse denne (og noen andre) PDEen: separasjon av variable. Fourierrekker vil bli brukt til å behandle initialbetingelsene. Dette dekkes av kapittel 12.1–12.3 i læreboken.

Ønsket om å modellerer vibrerende strenger leder en til bølgeligningen. Å starte med en interessant fysisk situasjon og ende opp med en god matematisk modell er generelt vanskelig, men også noe en ofte får bruk for i praksis. Les derfor litt grundig gjennom Kap. 12.2 i læreboken. For en litt annen utledning bølgeligningen se Walter Lewins tre korte forelesninger:

1. The Wave Equation: Motivation (3:32)
2. The Wave Equation: Derivation (10:26)
3. The Wave Equation: Consequences (8:00)

Det er 22 vel anvendte minutter.

Det kan være lurt å friske litt opp i teorien for ordinære differensialligninger fra Matte 3. Spesielt bruken av karakteristiske polynom for å løse andreordens, lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter (kapittel 4.3 i Matte 3-boken. Se eventuelt her).

Intro: intro_uke5.pdf

Denne uken startet vi på vårt studium av fouriertransformasjonen (Kap. 11.7-11.9 i læreboken). Vi betraktet den som et grensetilfelle av fourierrekker der perioden går mot uendelig. På den måten ble vi i stand til å bruke fourieranalyse også på ikke-periodiske funksjoner.

Vi motiverte og definerte fouriertransformasjonen og så på noen viktige eksempler. Deretter studerte vi nyttige egenskaper.

Til slutt så vi på konvolusjon, som er en uhyre viktig operasjon på funksjoner.

Notatet "Fakta om fouriertransformasjonen" er et supplement til lærebokens noe tynne behandling av fouriertransformasjonen.

Intro: intro_uke4.pdf

Vår diskusjon av fourierrekker fortsetter med to spørsmål: (i) hva med funksjoner med andre perioder?; (ii) hva med ikke-periodiske funksjoner?

Det første spørsmålet har et enkelt svar: reskalering. Det andre er mer utfordrende, men vi så se at en del ikke-periodiske funksjoner kan takles med metodene vi har studert. Generelle ikke-periodiske funksjoner leder til fouriertransformasjonen, som er tema neste uke.

Vi så noen eksempler der egenskaper til funksjonen leder til egenskaper til fourierrekkene: Hvis en funksjon er odde eller jamn, hva skjer med dens fourierrekke? Hvis funksjonen er en lineærkombinasjon av andre funksjoner, er det noen sammenheng mellom fourierrekkene?

Fourierrekker skrevet på kompleks form ble også introdusert. Dette er en alternativ (og ofte mye bedre) formulering av fourierrekker.

Vi fullførte presentasjonen av fourierrekker på kompleks form.

Tema var deretter approksimasjon med fourierrekker. Dersom en funksjon kan skrives som en fourierrekke så får man en tilnærming til funksjonen ved å kutte fourierrekken etter endelig mange ledd. Hvor god er den? Vi så at det er den beste tilnærmingen til funksjonen med en trigonometrisk rekke. Mer presist: feilen i tilnærmingen–gitt ved kvadratisk avstand–er minst mulig dersom man bruker fourierrekken.

Vi så også på Parsevals identitet.

Intro: intro_uke3.pdf

Plan for dagen: (i) Praktisk informasjon om kurset; (ii) Kursets innhold; (iii) Starter på kap. 11.1: Periodiske funksjoner og fourierrekker.

Vi startet med litt generell informasjon om kurset og dets innhold intro.pdf, før vi gikk over til kursets første tema: Fourierrekker. Litt motivasjon av hva man kan bruke dette til ble gitt (illustrert ved noen enkle matlab-script, linket her for spesielt interesserte: støyfjerning, lyd).

Definisjon og enkle egenskaper til periodiske funksjoner ble gitt, og vi så på de (for oss) viktigste periodiske funksjonene: sinus og cosinus.

Vi spurte: Hvis en 2pi-periodisk funksjon kan skrives som en trigonometrisk rekke, kan vi da finne koeffisientene i rekken? Svaret er ja. Fullstendig bevis for dette blir første tema på fredag.

For mer info om Joseph Fourier, se Fourier biography.

Dersom en 2pi-periodisk funksjon kan skrives som en trigonometrisk rekke så vi at koeffisientene er gitt ved euler-formlene. Rekken med disse koeffisientene kalles fourierrekken til f. Beregningen av koeffisientene baserte seg på integrasjon av trigonometriske funksjoner. Her er en liste av noen av de viktigste identitetene: trigident.pdf. Her er en liste over de trigonometriske integralene vi brukte: trigint.pdf.

Vi så deretter på et viktig eksempel (fourierrekken til en rektangulær bølge), og spurte oss: "kan en 2pi-periodisk funksjon skrives som en trigonometrisk rekke"? Mao. når konvergerer fourierrekken til f? Konvergensen til fourierrekken til den rektangulære bølgen ble illustrert med matlab-scriptet fourierrekker.m. Et generelt resultat som sikrer konvergens ble presentert. Det som måtte til var at funksjonen var periodisk, stykkevis kontinuerlig, og hadde høyre- og venstrehåndsderiverte overalt.