Nøkkelbegreper

De overordnede læremålene for TMA4105 Matematikk 2 er angitt i emnebeskrivelsen. Det kan forekomme endringer i nøkkelbegrepene.
See below for english version. Se også norsk-engelsk matematisk ordliste.

Uke 2: Flater og koordinatsystemer (8.5, 10.2–10.6)

  • Prikk- og kryssproduktet mellom vektorer
  • Plan i rommet
  • Andregradsflater
    • Ellipsoider
    • Elliptiske paraboloider
    • Enkappede og tokappede hyperboloider
  • Polar-, sylinder-, og kulekoordinater

Uke 3: Kurver og vektorvaluerte funksjoner (11.1, 11.3)

  • Vektorvaluerte funksjoner av én variabel
    • Deriverbarhet
    • Derivasjonsregler: produktregler og kjerneregelen
  • Kurver og kurveparametrisering
    • Glatte kurver
    • Tangent- og enhetstangentvektor
    • Buelengde

Uke 4: Skalarfelt og linjeintegral (12.1, 15.3, skalarfeltnotat seksjon 1)

  • Skalarfelt – funksjoner av flere variable
    • Grafen og konturlinjene til en funksjon av to variable
    • Konturflatene til en funksjon av tre variable
  • Grenseverdier og kontinuitet av skalarfelt
  • Linjeintegral av et skalarfelt
    • Linjeintegralet er uavhengig av parametrisering

Uke 5: Partiellderiverte og gradienten (skalarfeltnotat seksjon 2–4)

  • Partiellderiverte av skalarfelt
    • Høyere ordens partiellderiverte
    • Likhet av blandede partiellderiverte
  • Gradienter og retningsderivert
  • Kjerneregelen

Uke 6: Lineær approksimasjon og implisitt derivasjon (skalarfeltnotat seksjon 5–6)

  • Lineær approksimasjon
  • Tangentplan til funksjonsgrafer
  • Implisitt derivasjon og implisitt funksjonssetning

Uke 7: Vektorfelter (15.1-15.2 og 15.4)

  • Glatte vektorfelt
  • Strømlinjer
  • Konservative vektorfelt
    • Nødvendige betingelser for konservative vektorfelt
  • Linjeintegralet av vektorfelter
    • Sirkulasjon – linjeintegralet rundt en lukket kurve
    • Uavhengighet av integrasjonskurven for konservative vektorfelter

Uke 8: Dobbeltintegraler (14.1-14.3)

  • Dobbeltintegraler
    • Riemannsummer
    • Egenskaper til dobbeltintegraler
  • Enkle og regulære integrasjonsområder
  • Itererte dobbeltintegraler
  • Bytte av integrasjonsrekkefølge
  • Uekte integraler for funksjoner med konstant fortegn

Uke 9: Greens teorem og variabelskifte i dobbeltintegraler (16.3 og 14.4)

  • Variabelskifte for dobbeltintegraler
    • Integrasjon i polarkoordinater
  • Divergens og curl av vektorfelt i planet
  • Divergensteoremet i planet
  • Greens teorem i planet

Uke 10: Trippelintgraler med variabelskifte (14.5-14.7)

  • Jacobi-determinanten
  • Trippelintegraler og itererte integraler i tre dimensjoner
  • Variabelskifte i trippelintegraler
  • Massesenter

Uke 11: Flateintegral og fluks (15.5-15.6)

  • Parametriske flater
    • Glatte flater
  • Flateintegralet
    • Flateelementet og normalvektoren
  • Orienterte og orienterbare flater
  • Fluksen av et vektorfelt gjennom en orientert flate

Uke 13: Divergens og curl (16.1, 16.2)

Ingen oversiktsforelesning pga påske.

  • Divergens, curl og regneregler for disse
  • Rotasjonsfrie vektorfelt er konservative
  • Om \(\mathbf{F}\) er divergensfritt er \(\mathbf{F} = \mathbf{\text{curl } G}\)

Uke 14: Divergensteoremet og Stokes' teorem (16.4, 16.5)

  • Divergensteoremet i to og tre dimensjoner (Gauss' teorem)
  • Stokes' teorem

Uke 15: Greens og Stokes' teorem. Maksimering/minimering (13.1)

  • Repetisjon av divergensteoremet og Stokes' teorem.
  • Kritiske punkter, singulære punkter og randpunkter
    • Nødvendige og tilstrekkelige kriterier for lokalt min/max

Uke 16–17: Maksimering/minimering (13.1–13.3)

I uke 17 er det ingen interaktive forelesninger.

  • Andrederiverttesten i to dimensjoner
  • Beregning av maks/min for funksjoner definert på delmengder \(\mathbb{R}^2\) og \(\mathbb{R}^3\)
    • Kompakte (lukkede og begrensede) mengder
    • Ubegrensede mengder
  • Lagranges multiplikatormetode for én og to bibetingelser

Key concepts

Week 2: Planes og coordinate systems (8.5, 10.2–10.6)

  • The dot and cross product between vectors
  • Planes in 3-space
  • Quadric surfaces
    • Ellipsoids
    • Elliptic paraboloids
    • Hyperboloids of one and two sheets
  • Polar, cylindrical and spherical coordinates

Week 3: Curves and vector-valued functions (11.1, 11.3)

  • Vector-valued functions of one variable
    • Differentiability
    • Differentiation: product rules and the chain rule
  • Curves and curve parametrization
    • Smooth curves
    • Tangent and unit tangent vectors
    • Arc length

Week 4: Scalar fields and line integrals (12.1, 15.3, note on scalar fields section 1)

  • Scalar fields – functions of several variables
    • The graph and level curves for functions of two variables
    • Level surfaces for functions of three variables
  • Limits and continuity of scalar fields
  • Line integral of scalar field
    • The line integral is independent of parametrization

Week 5: Partial derivatives and the gradient (note on scalar fields sections 2-4)

  • Partial derivatives of scalar fields
    • Higher order partial derivatives
    • Equality of mixed partial derivatives
  • Gradients and directional derivatives
  • The chain rule

Week 6: Linear approximation and implicit differentiation (note on scalar fields sections 5-6)

  • Linear approximation
  • The tangent plane
  • Implicit differentiation and implicit function theorem

Week 7: Vector fields (15.1-15.2 og 15.4)

  • Smooth vector fields
  • Streamlines
  • Conservative vector fields
    • Necessary conditions for conservative vector fields
  • Line integrals of vector fields
    • Circulation – the line integral along closed curves
    • Independence of integration curve for conservative vector fields

Week 8: Double integrals (14.1-14.3)

  • Double integrals
    • Riemann sums
    • Properties of double integrals
  • Simple and regular domains of integration
  • Iterated double integrals
  • Change of iteration in double integrals
  • Improper integrals for functions with constant sign

Week 9: Green's theorem and change of variables in double integrals (16.3 og 14.4)

  • Change of variables in double integrals
    • Integration in polar coordinates
  • Divergence and curl of vector fields in the plane
  • The divergence theorem
  • Green's theorem

Week 10: Triple intgrals with change of variables (14.5-14.7)

  • The Jacobi determinant
  • Triple integrals and iterated integrals in three dimensions
  • Change of variables in triple integrals
  • Center of mass

Week 11: Surface integrals and flux (15.5-15.6)

  • Parametric surfaces
    • Smooth surfaces
  • The surface integral
    • The surface element and the normal vector
  • Oriented and orientable surfaces
  • The flux of a vector field through an oriented surface

Week 13: Divergence and curl (16.1, 16.2)

No overview lecture because of Easter

  • Divergence, curl and identities involving them
  • Rotation free vector fields are conservative
  • If \(\mathbf{F}\) is divergence free, then \(\mathbf{F} = \mathbf{\text{curl } G}\)

Week 14: The divergence theorem and Stoke's theorem (16.4, 16.5)

  • The divergence theorem in two og three dimensions (Gauss's theorem)
  • Stoke's theorem

Week 15: Green's and Stoke's theorem. Maximization/minimization (13.1)

  • Repetition of the divergence theorem and Stoke's theorem.
  • Critical point, singular points and boundary points
    • Necessary and sufficient conditions for local max/min

Week 16–17: Maximization/minimization (13.1–13.3)

No interactice lectures in week 17

  • The second derivative test in two dimensions
  • Computation of ma/min for functions defined on subsets of \(\mathbb{R}^2\) and \(\mathbb{R}^3\)
    • Compakte (closed and bounded) sets
    • Unbounded sets
  • Lagrange's method for one and two constraints
2016-02-26, Morten Andreas Nome