TMA4105 2014
– for MTEL, MTENERG, MTIØT, MTTK – og med video for alle
Forelesninger
Denne siden er for korte notater i forbindelse med forelesningene, oppretting av feil og misforståeler, eller (iblant) utdyping av begreper som jeg kanskje ikke fikk forklart godt nok eller som det ser ut til at mange har problemer med. Omvendt kronologisk rekkefølge, det vil si at det ferskeste alltid er øverst.
Video fra forelesningene blir postet her.
Uke 2
Mandag
I eksemplet med en parametrisering av hyperbelen brukte jeg et resultat som jeg har forstått at ikke alle er så godt kjent med. I prosa er det slik: Hvis du har et polynom \(p\) med et nullpunkt \(a\), kan du alltid «dele bort» nullpunktet. Mer presist, om \(p(a)=0\) så kan du skrive \(p(x)=(x-a)\cdot q(x)\) for et polynom \(q\). Poenget er vanlig polynomdivisjon: \(p(x)=(x-a)\cdot q(x)+r(x)\) der restleddet \(r(x)\) har lavere grad enn divisoren \((x-a)\). Det gir grad null, så \(r(x)\) er en konstant, og vi kan heller skrive \(p(x)=(x-a)\cdot q(x)+r\). Om du nå setter inn \(x=a\) og bruker \(p(a)=0\) så følger det umiddelbart at \(r=0\).
Og en ting til, men bare for spesielt interesserte: Jeg skrev en liten artikkel om kurver og deres areal i Normat for noen år siden. Selv om du ikke har tid til å lese den, er kanskje noe av innholdet av interesse.
Onsdag
Fra støyen i salen tror jeg kanskje ikke alle fikk med seg «trikset» med å integrere \(\cos^2t\) over en hel periode, så her er en kort forklaring. Du vet sikkert at du får null om du integrerer \(\cos at\) eller \(\sin at\) over en hel periode (altså et intervall av lengde \(2\pi/a\). Og fra identiteten \(\cos^2t=\frac12(1+\cos2t)\) følger det da at å integrere \(\cos^2t\) over en hel periode gir samme svar som å integrere \(\frac12\) over samme intervall (og tilsvarende med \(\sin^2t\)). Dette er integraler man kommer over ofte nok til at det er greit å huske på. Sagt enklere: Middelverdien av \(\cos^2t\) er \(\frac12\).
Uke 3
Mandag
Onsdag
Uke 4
Mandag
Onsdag
Uke 5
Mandag
Onsdag
Bilder om de mange måtene å skrive partiellderiverte på, og hvorfor vi gjør det slik.
Ligningen for tangentplanet som jeg kom frem til er bare første del av Taylors formel i flere variable, som vi kommer til. Jeg glemte i farten å si noe om normalvektoren til tangentplanet. Den kan leses rett ut av ligningen \(z=f(a,b)+\partial_1f(a,b)\cdot(x-a)+\partial_2f(a,b)\cdot(y-b)\): Normalvektoren blir \(\partial_1f(a,b)\cdot\mathbf{i}+\partial_2f(a,b)\cdot\mathbf{j}-\mathbf{k}\).
Likhet av blandede partiellderiverte, overforenklet (men det gir kanskje bevisidéen tydeligere): Man skriver opp samme uttrykk (en «sjakkbrettdifferanse») på to måter. Den første er \[ \color{#a00}{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}-\bigl(\color{#080}{f(a,b+k)-f(a,b)}\bigr) \approx\color{#a00}{\partial_y f(a+h,b)\cdot k}-\color{#080}{\partial_y f(a,b)\cdot k} \approx\partial_x\partial_y f(a,b)\cdot hk \] og den andre er \[ \color{#a00}{f(a+h,b+k)-f(a,b+k)}-\bigl(\color{#080}{f(a+h,b)-f(a,b)}\bigr) \approx\color{#a00}{\partial_x f(a,b+k)\cdot h}-\color{#080}{\partial_x f(a,b)\cdot h} \approx\partial_y\partial_x f(a,b)\cdot hk \] Vanskeligheten er å vise at alle tilnærmingene antydet ved \(\approx\) er gode nok. Det krevdes et ekstra lurt triks for å klare å redusere det hele til to anvendelser av sekantsetningen (middelverdisetningen), men det er egentlig mindre vesentlig.
Uke 6
Mandag:
Onsdag:
Video: Multimediesenteret har meldt at videoen ikke kan produseres på grunn av et «diskrelatert problem».
Bilder (slides) fra forelesningen: Om liten o-notasjon og anvendelser på differensialer etc. Jeg tror jeg fikk rettet alle tyrkkleifene i løpet av pausen i forelesningen, men sikker er jeg ikke.
For øvrig ser jeg at forelesningenen blir litt vel teoritunge. Jeg skal forsøke å justere ned teorien noe.
Uke 7
Mandag:
Det ble mye om implisitt funksjonsteorem, ikke tilstrekkelig tid til Taylors formel. Jeg nådde så vidt å komm i gang med Taylors formel i to variable, så vi får fortsette der på onsdag.
Onsdag:
Jeg nådde ikke frem til andrederivert-testen. Vi får ta den tidlig mandag morgen.
Uke 8
Mandag:
Den første timen gikk med til andrederivert-testen. I den andre timen tok jeg utgangspunkt i et enkelt optimeringsproblem: Maksimere \(x^ay^b\) over kvartsirkelen \(x^2+y^2=1\), \(x\ge0\), \(y\ge0\). Jeg løste den først ved å parametrisere kvartsirkelen og løse et vanglig optimeringsproblem i én variabel, slik dere kan fra før. Deretter arbeidet jeg meg frem til metoden med Lagrange-multiplikator og fant løsningen slik i stedet.
Onsdag:
Når vi tar fatt på dobbeltintegraler i dag (kap 14), vil jeg bruke en enkel notasjon som ikke finnes i boken: Jeg vil skrive \([(x,y)\in D]\) for en størrelse som er lik 1 dersom \((x,y)\in D\) og lik 0 dersom \((x,y)\notin D\). Generelt er regelen den at \([…]=1\) dersom utsagnet … er sant og \([…]=0\) dersom … er galt. Merk at \[ f(x,y)\cdot[(x,y)\in D]= \begin{cases} f(x,y)&\text{dersom } (x,y)\in D,\\ 0&\text{ellers.} \end{cases} \] Dette er alt jeg vil bruke notasjonen for i denne omgang – uttrykket på venstre side er mer kompakt enn det på høyre side – men den er anvendelig i mange sammenhenger. Denne bruken av firkantparentes er kjent under navnet Iverson bracket.
Et annet eksempel: \[ [0\le x\le\pi] \sin x=\begin{cases}\sin x&0\le x\le\pi,\\0&\text{ellers.}\end{cases} \]
Tilleggsbemerkning: Jeg tillater meg å jukse litt, og si at \(f(x,y)\cdot[(x,y)\in D]=0\) for \((x,y)\notin D\) – også i punkter \((x,y)\) der \(f\) ikke er definert.
Uke 9
Mandag
Vi er nå i en mindre teoretung del av pensum. Men det er håndverk som må læres: Å gjøre det rett med grenser i dobbeltintegraler er kanskje ikke begrepsmessig vanskelig, men det er fort gjort å bli forvirret og gjøre feil. Her som så ofte ellers er det øving som gjelder.
Ett eksempel fra forelesningen, med «uekte» flateintegral hvor alt gikk veldig galt: \[\iint_D \sin(y-x)\,dA\] der \(D\) er gitt ved \(x\ge0\) og \(|x-y|\le\pi\), ga resultat null da jeg integrerte med hensyn på \(y\) innerst, men forskjellig fra null om jeg hadde \(x\)-integralet innerst. Fenomenet er analogt med alt det gale som kan skje med betinget konvergente rekker, men her virker alt mer naturlig, og gir likevel vanskeligheter.
Dersom integranden alltid er \(≥ 0\) (eller alltid \(≤ 0\)) så skjer ikke slike uhyrligheter: De to itererte integralene gir begge samme svar, som enten er endelig (integralet konvergerer) eller uendelig (integralet divergerer).
Eksempel: \[\iint_D e^{-x^2-x^2y^2}x\,dA\] med \(D\) gitt av \(x≥0\) og \(y≥0\). Integrert med \(x\)-integralet innerst fikk vi \(\pi/4\), men integrert med \(y\)-integralet innerst endte vi opp med \[\Bigl(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\Bigr)^2\] i stedet. Vi konkluderte at vi har funnet verdien av et klassisk integral: \[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\] (ved litt forsiktig bruk av symmetri).
Onsdag
Uke 10
Mandag
Onsdag
Integrasjon i kulekoordinater, volumelement i generelle koordinater i trippelintegraler, Jacobideterminant.
Uke 11
Mandag
Vektorfelter, innledningsvis illustrert med bilder av vindfelt. Jeg brukte litt Maple til å illustrere også; her er regnearket (med feilen som hindret meg litt rettet opp).
Onsdag
Jeg var trøtt og uopplagt i dag, og leverte dermed ikke helt på mitt beste. Notatet under ble litt langt, så jeg har valgt å skjule det. Klikk på det grå feltet for å få det frem eller skjule det igjen.
Uke 12
Mandag
Onsdag
Uke 13
Mandag
Jeg «jukset» litt og skrev opp Greens teorem, som egentlig hører til tema for neste uke. Tanken er å gi teoremet litt tid til å synke inn.
Onsdag
Slides fra dagens forelesning, om identiteter for grad, div curl.
Jeg «jukset» mer og tok med divergensteoremet (Gauss' teorem) og Stokes' teorem. Disse teoremene sammen med Green er høydepunkter i kurset, og det er for galt at de skal presenteres i hui og hast helt på tampen. Jeg vil ha mer å si om dem i neste uke.
Uke 14
Mandag
Og her en pdf-fil med formlene jeg hadde oppe på videokanonen. Jeg har brukt notasjonen \(\partial D\) for randen til \(D\). Dette er standard notasjon, men ikke brukt i læreboken. Den presise definisjonen varierer litt, men burde fremgå av sammenhengen.
Onsdag
Uke 15
Mandag
Delvis oppsummering, delvis eksamensoppgaveregning. Her er en håndskrevet oversikt, hvis du klarer å tyde håndskriften.