Transcendente funksjoner

Transcendente funksjoner er funksjoner som ikke kan «lages» ved å bruke algebraiske regneoperasjoner, dvs, addisjon, multiplikasjon, divisjon, potenser og røtter. De viktigste transcendentale funksjonene er eksponentialfunksjoner, trigonometriske funksjoner, hyperbolske funksjoner, og disse funksjonenes inverser. Disse funksjonene blir mye brukt i kalkulus, og det er derfor viktig å kjenne egenskapene deres godt.

Innholdsfortegnelse:
Inverse funksjoner
Eksponential- og logaritmefunksjoner
Inverse trigonometriske funksjoner
Hyperbolske funksjoner

For at en invers funksjon skal kunne eksistere må vi stille krav til at vi ikke «mister informasjon» når vi bruker inversfunksjonen; det vil si at inversfunksjonen ikke kan ta to ulike verdier og sende til en og samme verdi. Sagt på en annen måte, to ulike punkt kan ikke bli avbildet (mapped) til ett enkelt punkt.

Anta at vi har en funksjon \(f(x)=y\), og vi ønsker å finne en invers funksjon til denne. Funksjonen \(f\) tar inn \(x\)-verdier som argument, og gir ut \(y\)-verdier. En inversfunksjon til \(f\) er da en funksjon som kan "gjøre det motsatte", ta inn \(y\)-verdier som argument og gir ut den tilhørende \(x\)-verdien.
Hva kreves av funksjonen \(f\) for at dette skal være mulig? La \(x_1\) og \(x_2\) være to \(x\)-verdier i domenet til \(f\), og anta at \(f(x_1)=y_1=f(x_2)\). Dersom vi vil finne inversen til \(f\), så kommer vi til å få problemer når vi ønsker å putte verdien \(y_1\) inn i inversfunksjonen, for hvilken \(x\)-verdi skal vi da velge, \(x_1\) eller \(x_2\)?

Definisjon: en-til-en
En funksjon er en-til-en dersom den sender ulike punkt til ulike punkt. Med notasjon skriver vi dette som: \(x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \).

Definisjon: Invers funksjon
Gitt en funksjon \(f\) som er en-til-en, så definerer vi den inverse funksjonen som vi skriver \(f^{-1}\). Funksjonsverdien til \(f^{-1}(y)\) definerer vi til å være tallet x i domenet til \(f\) som er slik at \(f(x)= y\).

Anta at definisjonsmengden til \(f\) er et invervall, at \(f'\) eksisterer på dette intervallet og at \(f'\) ikke endrer fortegn på intervallet. Da er \(f\) enten en voksende funksjon eller en avtagende funksjon på intervallet, og dermed også en-til-en, slik at da er vi sikre på at en inversfunksjon \(f^{-1}\) eksisterer.
En metode for å vise at en inversfunksjon eksisterer er derfor å vise nettopp at funksjonen f på det aktuelle intervallet er voksende eller avtagende og derfor må være en-til-en.

Derivasjon av inverse funksjoner
Fra definisjonen av inversfunksjon over får vi at \(f^{-1}(f(x)) = x\) og \(f(f^{-1}(x)) = x\) for en funksjon f som er slik at en invers \(f^{-1}\) eksisterer. Dersom \(f^{-1}\) er deriverbar kan man da finne den deriverte ved å bruke kjerneregelen på likhetene over:

\[f'(f^{-1}(x)) \cdot \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = 1, \] litt algebra gir da \[ \frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}. \]

(Faktisk så trenger man ikke å anta at \(f^{-1}\) er deriverbar, det kan vises utfra de forutsetningen som er satt på funksjonen f).



Nedenfor tar vi for oss noen av de viktigste egenskapene til eksponential- og logaritmefunksjoner. Dette bør man lære seg utenat. Resultatene er skrevet opp med vilkårlig base \(a>0\), men i praksis bruker man oftest 2, \(e\) eller 10 som base for logaritmen.

Potensregler
La \(a>0\). Da har vi \[ \begin{align} a^0 &= 1, & \qquad a^{x+y} &= a^x a^y, \\[1em] a^{-x} &= \frac{1}{a^x}, & \qquad a^{x-y} &= \frac{a^x}{a^y}, \\[1em] (a^x)^y &= a^{xy}, & \qquad (ab)^x &= a^x b^x. \end{align} \]

Logartimeregler
La \(x, y, a, b>0\) og \(a,b \neq 1\). Da har vi \[ \begin{align} \log_a 1 &= 0, & \qquad \log_a(xy) &= \log_a x + \log_a y, \\[1em] \log_a\left(\frac{1}{x}\right)&=-\log_a x, & \qquad \log_a \left(\frac{x}{y}\right) &= \log_a x-\log_a y. \\[1em] \log_a (x^y) &= y \log_a x, & \qquad \log_a x &= \frac{\log_b x}{\log_b a}. \end{align} \] Viktige grenseverdier
La \(a > 1\). Da er \[ \begin{align} &\lim_{x\to -\infty}a^x = 0, & \qquad \lim_{x\to \infty}a^x = \infty, \\[1em] &\lim_{x\to 0+} \log_a x = -\infty, &\qquad \lim_{x\to \infty} \log_a x = \infty. \end{align} \]

Deriverte
Både eksponential- og logaritmefunksjoner er deriverbare, med deriverte \[\frac{d}{dx} a^x = \ln(a) a^x, \] og \[\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln(a)}.\]

Trigonometriske funksjoner er periodiske, dermed er de ikke en-til-en på hele den reelle tallinjen. Dette betyr at de ikke kan ha en inversfunksjon i hele domenet. Dersom man derimot velger et passende intervall, slik at funksjonen er en-til-en i hele det aktuelle intervallet, så kan man finne en inversfunksjon.

Definisjon: Den inverse sinusfunksjonen
Den inverse til \(\sin\) kalles \(\arcsin\), og er definert ved \[y = \arcsin(x) \Longleftrightarrow x = \sin(y) \ \mathrm{for} \ -\pi/2 \le y \le \pi/2.\] (\(\arcsin\) er den inverse til sinusfunksjonen avgrenset til intervallet \([-\pi/2,\pi/2]\).)

Definisjon: Den inverse tangensfunksjonen
Den inverse til \(\tan\) kalles for \(\arctan\) og er definert ved \[y = \arctan(x) \Longleftrightarrow x = \tan(y) \ \mathrm{for} \ -\pi/2 < y < \pi/2.\] (\(\arctan\) er den inverse til tangensfunksjonen avgrenset til intervallet \((-\pi/2,\pi/2)\).)

Definition: Den inverse cosinusfunksjonen
Den inverse til \(\cos\) kalles for \(\arccos\) og er definert ved \[y = \arccos(x) \Longleftrightarrow x = \cos(y) \ \mathrm{for} \ 0 \le y \le \pi.\] (\(\arccos\) er den inverse til cosinusfunksjonen avgrenset til intervallet \([0,\pi]\)). En ekvivalent definisjon er \(\arccos(x) = \pi/2-\arcsin(x)\).

Deriverte
\[ \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[ \frac{d}{dx} \arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} \]

Hyperbolske funksjoner er kombinasjoner av eksponentialfunksjoner. Disse spesielle kombinasjonene av eksponentialfunksjoner er nært beslektet med de trigonometriske funksjonene. Blant annet er det slik at alle trigonometriske formler som gjelder for de vanlige trigonometriske funksjonene også gjelder for de hyperbolske funksjonene.

Definisjon: De hyperbolske cosinus og sinusfunksjonene
\[ \cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \]

\[ \sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \]

Definisjon: Hyperbolsk tangens
\[ \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]

Deriverte
\[ \begin{align}\frac{d}{dx} \sinh(x) &= \cosh(x)\\[0.2cm] \frac{d}{dx} \cosh(x) &= \sinh(x)\\[0.2cm] \frac{d}{dx} \tanh(x) &= \frac{1}{\cosh^2(x)} \end{align}\]

N.B. Med såkalte komplekse tall (dekkes ikke i dette emnet) innføres den imaginære enheten \(i = \sqrt{-1}\), og man kan vise at \(\sin(x) = \frac{1}{2i} (e^{ix} - e^{-ix})\) og at \(\cos(x) = \frac{1}{2} (e^{ix} + e^{-ix})\). Dette forklarer sammenhengen mellom trigonometriske og hyperbolske funksjoner.