Transcendentale funksjoner - Eksempel

Under fnner du eksempel som illusterer teori og konsept som er diskutert i temaet transcendentale funksjoner.

Problem
Vis at funksjonen \(f(x) = x \sqrt{3+x^2}\) har en invers funksjon, og regn ut \((f^{-1})'(-2)\).

Løsning
Vi kan kun finne en invers funksjon dersom f er en-til-en, så for å vise at en invers funksjon eksisterer viser vi først dette. For å vise at f er en-til-en kan man for eksempel bruke definisjonen på en-til-en, eller man kan derivere f og vise at f er voksende eller avtagende i hele det aktuelle domenet/intervallet.

Vi prøver den siste framgangsmåten, og begynner med å regne ut at \( f'(x) = \sqrt{3+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{3+x^2}} \). Dette uttrykket er alltid positivt (om man er i tvil: sett på felles brøkstrek og lag fortegnsskjema for å sjekke), og dermed er f en voksende funksjon overalt. Det betyr igjen at f er en-til-en og har en invers funksjon \(f^{-1}\).

Videre vet vi fra teorien at

\[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.\]

For å regne ut \((f^{-1})'(-2)\) ser vi at vi er nødt til å finne \(f^{-1}(-2)\), slik at vi klarer å regne ut nevneren i brøkuttrykket. Fra definisjonen av invers funksjon betyr dette at vi leter etter en verdi x som er slik at \(f(y)=x\) (legg merke til at x og y har byttet rolle her i forhold til i definisjonen). Det vil si at vi må løse \(f(y) = y \sqrt{3+y^2} = -2 \). Det kan vi gjøre ved å bruke Maple, eller å regne det ut analytisk:

\[ \begin{align} y \sqrt{3+y^2} = -2 \Longrightarrow & y^2(3+y^2) = 4 & \\ \Longleftrightarrow & y^4+3y^2-4 = 0 & (\mathrm{andregradsligning \ i \ } y^2) \\ \Longleftrightarrow & y^2 = 1 \quad \mathrm{or} \quad y^2 = -4 & \end{align} \] Siden et kvadrat alltid må være positivt konkluderer vi med at \(y^2 = 1\), og y er enten 1 eller -1. Ved å bruke den opprinnelige ligningen, \(f(y) = y \sqrt{3+y^2} = -2 \), ser man ved å sette inn y=1 at dette er umulig men at y=-1 er en løsning. Deretter kan vi regne ut at \(f'(-1) = 5/2\), som vi så setter inn i formelen for den deriverte av inversfunksjonen, og da får vi at

\[(f^{-1})'(-2) = 2/5. \]

Problem
Løs ligningen \(2 \log_3x+\log_9x = 10\).

Løsning

Siden funksjonen \(f(x) = 3^x\) er en-til-en kan vi bruke denne funksjonen på begge sider av ligningen uten å endre løsningesmengden: \[3^{2 \log_3x+\log_9x} = 3^{10} \] \[3^{2\log_3x}3^{\log_9x} = 3^{10}\] \[(3^{\log_3x})^2 (9^{\log_9x})^{\frac12} = 3^{10} \] \[x^2x^{\frac12} = 3^{10}\] \[x = 3^{10 \cdot \frac25} \] dermed får vi at \(x = 81\).

Problem
La \(x, a, b >0\), der \(a, b \neq 1\). Bevis at \[\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}.\]

Løsning La \(u= \log_a x\). Dette betyr at \(x=a^u\). Vi kan ta logaritmen med base \(b\) på bege sider av likheten, og får da \[ \log_b a^u=\log_b x .\] Vi bruker en regneregel for logaritmer og får videre at: \[ u\cdot\log_b a=\log_b x . \]

Deretter kan vi dele begge sider på konstanten \(\log_b a\), og dermed får vi at\[ \log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}\] som var det som skulle vises.

Problem
Finn \(F'(0)\), der \[ F(x) = \frac{ (x^2+7)\sqrt{3+2x}(1-x)^{1/3}}{(1+5x)^{4/5} }. \]

Løsning
Når man har et produkt som man tar logaritmen av, så får man isteden for et nytt produkt en sum. Summer er lettere å derivere enn produkt. La oss derfor kikke på \(\ln(F(x))\) (dette gir mening siden \(F(x)>0\) når \(x\) er nær \(0\)):

\[ \ln(F(x)) = \ln(x^2+7) + \frac12 \ln(3+2x) + \frac13 \ln(1-x) - \frac{4}{5} \ln (1+5x). \]

Denne funksjonen kan vi derivere implisitt, og da får vi:

\[ \frac{F'(x)}{F(x)} = \frac{2x}{x^2+7} + \frac12 \frac{2}{3+2x} + \frac13 \frac{-1}{1-x} - \frac{4}{5} \frac{1}{1+5x}. \]

Med andre ord får vi: \[ F'(x) = \left( \frac{2x}{x^2+7} + \frac12 \frac{2}{3+2x} + \frac13 \frac{-1}{1-x} - \frac{4}{5} \frac{1}{1+5x} \right) \frac{ (x^2+7)\sqrt{3+2x}(1-x)^{1/3}}{(1+5x)^{4/5} }.\]

Problem

Finn temperaturen i en gjenstand 5 minutter etter at gjenstanden har blitt tatt ut av en ovn med temperatur 72 grader, og plassert i et rom hvor det er 20 grader, gitt at temperaturen i gjenstanden er 48 grader etter ett minutt.

Løsning

La temperaturen være gitt ved \(T\) og la tiden være gitt ved \(t\). Vi har fra Newton's avkjølingslov at temperaturen tilfredstiller ligningen

\[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k(T-20).\]

La \(u(t) = T(t) -20\). Vi har da at \(u(0)=72-20 =52\) og \(u(1) =28\). Videre ser vi også at \[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=ku,\] med løsning \(u(t) =u(0)\mathrm{e}^{kt} =52\mathrm{e}^{kt}.\) For å finne konstanten \(k\), merker vi oss at \(28=u(1) =52\mathrm{e}^{k},\) slik at \(\mathrm{e}^{k} = 28/52 =7/13,\). Dette gir at \(k =\ln(7/13)\), og dermed kjener vi funksjonsuttrykket for \(T(t)\).

Vi ønsker å finne \(T(5) =u(5)+20\). Fra utregningene over har vi at \[u(5)=52\mathrm{e}^{5\ln(7/13)}=2.35,\] dermed blir temperaturen etter fem minutt \(2.35+20 = 22.35\) grader.