Følger, rekker og potensrekker - Eksempler


Her finner du eksempler som illustrerer begreper og teoremer introdusert på temasiden Følger, rekker og potensrekker .

En rekke som divergerer selv om leddene går mot null

Problem
Vis at \[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^k}\]

divergerer mot infinity for all \(k>0\), selvom grensen av følgen er \(0\).

Løsning

Hverken rottesten eller ratiotesten kan brukes for denne følgen. Vi prøver dermed med en sammenligningstest. Vi vet at \(\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x^k}=\infty\) for alle positive tall \(k\) (Dersom du er i tvil så kan dette vises ved å bruke L'Hôpital gjentatte ganger). Dette vil si at \(\mathrm{e}^x\) vokser raskere enn ethvert polynom. Siden \(\mathrm{e}^x\) er definert som inversefunksjonen til \(\ln(x)\) impliserer dette at \(\ln(x)\) vokser saktere enn ethvert polynom. Dermed har vi for alle \(n\geq N\) og for ett eller annet postivit heltall \(N\) at

\(\ln(n)<n^{1/k}\), som igjen betyr at \(\left(\ln(n)\right)^k<n\). Da får vi

\[\sum_{n=N}^\infty \frac{1}{\left(\ln(n)\right)^k}>\sum_{n=N}^\infty \frac{1}{n}=\infty.\]

På den andre siden, så er det klart at

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^k}=0\] for alle \(k>0\).

Tilnærming av summen av rekker

Problem

Estimer summene

\[\text{(i)}\quad s=\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(n)}{n^2}\] \[\text{(ii)}\quad s=\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n\ln(n)}{n^2}\]

med en nøyaktighet på \(10^{-3}\)

Løsning
Den mest åpenbare måten å etsimere summen av en rekker på, er å ganske enkelt kutte alle ledd etter et visst punkt, og regne ut den endelige summen man da har. Vi ønsker å finne en oppad begrensning på feilen, og la dette bestemme hvor mange ledd vi skal ta med. Altså må vi finne et estimat for halen av rekka.

(i) La oss se på den kontinuerlige funksjonen \(f(x)=\ln(x)/x^2\). Den deriverte av denne funksjonen er negativ for \(x\geq 2\), så funksjonen er avtagende på intervallet \([2,\infty)\). Vi kan dele opp intervallet i delintervall \([n,n+1]\) av lengde \(1\). La oss anta at vi på hvert delintervall har et rektangel med høyde lik funksjonsverdien til \(f\) i venstre endepunkt. Arealet av rektanglene vil da være større enn arealet under kurven \(f\), siden \(f(n)\) er den største verdien av \(f\) på \([n,n+1]\). På sammen måte kan vi konstruere et sett med rektangel som har samlet areal mindre enn arealet under kurven, ved å velge høyden på rektanglene lik \(f(n+1)\). Dermed har vi

\[A_{n+1}=\int_{n+1}^\infty \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx\leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{\ln(n)}{n^2}\leq \int_n^\infty \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx=A_n.\] Ved å løse integralene finner vi at \[\frac{\ln(n+1)+1}{n+1}\leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{\ln(n)}{n^2}\leq \frac{\ln(n)+1}{n}.\] La \(s_n\) står for den \(n\)-te delsummen. Vi har at \(s\in [s_n+A_{n+1},s_n+A_n]\). Videre bruker vi midtpunket i dette intervallet,med notasjon \(s_n^*\), for å finne approksimasjonen vår. Da har vi at \[|s-s_n^*|\leq \frac{A_n-A_{n+1}}{2}=\frac{\ln(n)+1}{2n}-\frac{\ln(n+1)+1}{2n+2}.\] Ved å bruke maple finner man da at \(n=43\) er det minste tallet som er slik at vi kan være sikre på at \(|s-s_n^*|<10^{-3}\).

(ii) Denne følgen er alternerende, og absoluttverdien av følgen er strengt avtagende. Dermed har vi \(|s-s_n|<\ln(n+1)/(n+1)^2\). Dette kan man finne ved følgende argument: anta at \(a_{n+1}\) er positiv. Da er neste ledd et mindre tall som vi trekker fra, altså \(a_{n+1}>a_{n+1}-a_{n+2}>0\). Dette er tilfelle for alle slike par i rekken. Dermed kan ikke summen av rekken fra og med ledd nr \(n+1\) være større enn \(|a_{n+1}|\). Ved å bruke maple gir dette at n=64.

Bruk av rottesten

Problem

Er rekken \[\sum_{n=1}^{\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)^{-n}\] konvergent?

Løsning

Siden leddene er i n-te potens forsøker vi med rottesten. Vi har at \(a_n =\left(2+\frac{1}{n}\right)^{-n}\), så alle ledd er positive. Videre har vi at

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} =\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(2+\frac{1}{n}\right)^{-n}}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{2-1/n}\right)=\frac{1}{2}.\]

Siden grenseverdien er mindre enn 1, impliserer altså rottesten her at rekken er konvergent.

Å finne summen av en potensrekke

Problem

Finn ut på hvilket intervall rekka konvergerer, og finn den aktuelle summen:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+3)x^n.\]

Løsning

Vi deler opp summen i to summer:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+3)x^n =\sum_{n=0}^{\infty}nx^n+3\sum_{n=0}^{\infty}x^n.\]

Den andre summer er lett, vi vet at den er \(3/(1-x)\) for \(|x|<1\). For å finne ut den første summen må vi regne litt mer. Vi starter med identiteten

\[ 1+x+x^2+ \cdots+x^n+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}x^n =\frac{1}{1-x}\]

som er gyldig for \(|x|<1\).

Begge sider deriveres:

\[0+1+2x+ \cdots+nx^{n-1}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} =\frac{1}{(1-x)^2}\]

Så multipliserer vi begge sider med faktoren \(x\):

\[x+2x^2+ \cdots+nx^{n}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n} =\frac{x}{(1-x)^2},\]

som er den summen vi ønsket. Legg merke til at det er likegyldig om vi summerer fra \(n=0\) eller \(n=1\), resultatet blir det samme.

Totalt sett har vi da

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+3)x^n =\frac{x}{(1-x)^2}+\frac{3}{1-x} = \frac{3-2x}{(1-x)^2}\]

for \(|x|<1\). Dersom \(|x|\ge 1\), så vil leddene i rekka \(\sum_{n=0}^{\infty}(n+3)x^n\) ikke konvergere mot null, så i dette tilfellet er rekka ikke konvergent. Dermed er konvergensintervallet \((-1,1)\).

2015-07-24, Morten Andreas Nome