Grenser og kontinuitet - Eksempler

Her finner du eksempler som illustrerer begreper og teoremer introdusert på temasiden Grenser og kontinuitet .

La funksjonen \(f\) være gitt ved

\[f(x) = \begin{cases} x & \text{når} \ x \neq 0 \\ 100 & \text{når} \ x = 0 \end{cases} \]

Med andre ord kan vi si at \(f\) er identitetsfunksjonen \(g(x)=x\), redefinert til å være \(100\) i punktet \(x=0\). Vi vet at \(\lim_{x \to 0} g(x) = 0\), men hva med \(\lim_{x \to 0} f(x)\)? Leser vi definisjonen av grenseverdi nøye, ser vi at denne kun avhenger av hvordan \(f\) oppfører seg nær punktet \(x=0\). Funksjonsverdien i \(x=0\) er irrelevant. Dermed har vi at

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x) = 0.\]

La funksjonen \(H\) være gitt ved

\[H(x) = \begin{cases} 0 & \text{når} \ x <0 \\ 1 & \text{når} \ x \geq 0 \end{cases} \]

Vi ser at \[ \lim_{x \to 0^-} H(x) = 0 \quad \text{og} \quad \lim_{x \to 0^+} H(x) = 1 .\]

Begge de ensidige grensene til funksjonen \(H\) eksisterer i punktet \(x=0\), men de er forskjellige. Dette medfører at den tosidige grensen \( \lim_{x \to 0} H(x) \) ikke eksisterer. Vi sier at \(H\) er diskontinuerlig i punktet \(x=0\). (Funksjonen er imidlertid kontinuerlig fra høyre i alle punkter.)

Vi vil finne grenseverdien

\[\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}.\]

Siden både teller og nevner går mot null når \(x\) går mot \(3\), ser vi ikke umiddelbart hva grensen må bli. Men vi ser at telleren kan faktoriseres som følger:

\[x^2-9 = (x-3)(x+3) = (\sqrt x - \sqrt 3)(\sqrt x + \sqrt 3)(x+3).\]

Altså kan vi dele med faktoren \((\sqrt{x}-\sqrt{3})\) over og under brøkstreken. Vi får da at

\[\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} = \lim_{x \to 3} \, (\sqrt x + \sqrt 3)(x+3) = 12 \sqrt 3. \]

Vi vil finne grenseverdien

\[ \lim_{x \to 3 } \frac{x^2+2x-8}{x^3-2x-1} . \]

I følge regnereglene for grenser er det nok å finne grensen av teller og nevner hver for seg, og så dele etterpå.

La oss begynne med telleren. Vi vet at \( \lim_{x \to 3} x = 3 \), og dermed er \( \lim_{x \to 3} x^2 = (\lim_{x \to 3} x) \cdot (\lim_{x \to 3} x) = 9 \). Til sammen har vi at

\[ \lim_{x \to 3} (x^2+2x-8) = \lim_{x \to 3} x^2 + 2 \cdot \lim_{x \to 3} x - \lim_{x \to 3} 8 = 9+6-8 = 7 .\]

Vi tar så for oss nevneren. Siden vi allerede har vist at \(\lim_{x \to 3} x^2 = 9\), kan vi beregne \(\lim_{x \to 3} x^3 \) på denne måten:

\[ \lim_{x \to 3} x^3 = \lim_{x \to 3} (x^2 \cdot x ) = 9 \cdot 3 = 27 \]

Dermed finner vi at

\[ \lim_{x \to 3} (x^3-2x-1) = 27 -2 \cdot 6 - 1 = 20.\]

Til slutt deler vi de to grensene på hverandre, og får

\[ \lim_{x \to 3 } \frac{x^2+2x-8}{x^3-2x-1} = \frac{7}{20} .\]

Generelt: For polynomer \(P\) og \(Q\), hvor \(Q(a) \neq 0\), har vi at

\[ \lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)} .\]

La oss se på grenseverdien

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin (1/x) . \]

Når \(x\) går mot \(0\), vil ikke \(\sin (1/x)\) nærme seg en bestemt verdi, men oscillere raskere og raskere mellom \(-1\) og \(1\). Vi sier at \( \lim_{x \to 0} \sin (1/x) \) ikke eksisterer. Dermed kan vi ikke bruke produktregelen for grenser til å finne \(\lim_{x \to 0} x^2 \sin (1/x)\). Men vi vet at \( -1 \leq \sin(1/x) \leq 1 \), og dermed er \( -x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2\). Videre har vi at \(\lim_{x \to 0} -x^2 =\lim_{x \to 0} x^2 =0\), og det følger da av skviseteoremet at

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin(1/x) =0 \]

La oss vise formelt at funksjonen \(1/x\) går mot \(0\) når \(x\) går mot \( \infty\). Med symboler skriver vi

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 . \]

Vi må da vise at for enhver \(\varepsilon > 0\) finnes \( N \in \mathcal{N} \) slik at

\[ x > N \quad \Rightarrow \quad \left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \varepsilon .\]

For en gitt \(\varepsilon > 0\), la \(N=1/\varepsilon\). Vi får da at

\[ x > N \quad \Rightarrow \quad \left| \frac{1}{x} \right| < \frac{1}{N} = \varepsilon . \]

Dette viser at \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\) .

Vi vil finne grenseverdien \[\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2- 3}{3x^2+1}. \] Både teller og nevner i uttrykket går mot \(\infty\) når \(x \to \infty\), så vi ser ikke umiddelbart hva grenseverdien må være. La oss begynne med å dele på største potens, \(x^2\), i teller og nevner. Vi får \[\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2- 3}{3x^2+1} =\lim_{x \to \infty} \frac{4-3/(x^2)}{3+1/(x^2)}. \] Nå ser vi at både \(3/(x^2)\) og \(1/(x^2)\) går mot \(0\) når \(x\) vokser mot uendelig. Dermed har vi at \[\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2- 3}{3x^2+1} =\lim_{x \to \infty} \frac{4-3/(x^2)}{3+1/(x^2)} = \frac{4}{3}. \]

Vi vil finne grenseverdien \[\lim_{x \to \infty}\frac{2-\cos(x)}{x+5}.\]

La oss først se på telleren. Vi har at \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\), og dermed følger det at \[ 1 \leq 2 -\cos(x) \leq 3. \] Vi er interessert i hva som skjer når \(x\) blir veldig stor, så vi kan trygt anta at \( x+5>0\). La oss dele på \( x+5\) i alle ledd i ulikheten over: \[\frac{1}{x+5} \leq \frac{2-\cos(x)}{x+5} \leq \frac{3}{x+5}.\] Vi ser at \[ \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x+5} =\lim_{x \to \infty}\frac{3}{x+5} =0,\] og dermed følger det fra skviseteoremet at \[\lim_{x \to \infty}\frac{2-\cos(x)}{x+5} =0 .\]

Et polynom \[p(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0,\] hvor \( n \ge 1\), vil alltid oppfylle \(\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty\). For å se dette, skriv \(p\) på formen \(p(x) = x^n(1+a_{n-1}x^{-1}+\ldots+a_0x^{-n})\). Den første faktoren, \(x^n\), vokser mot uendelig når \(x\) vokser mot uendelig. Den andre faktoren, \((1+a_{n-1}x^{-1}+\ldots+a_0x^{-n})\), går mot \(1\) når \(x \to \infty\). Dermed følger det at produktet av de to faktorene, \(p(x)\), vokser mot uendelig når \(x \to \infty\).

La oss ta nok et eksempel. Vi ser på funksjonen \[f(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}.\] Denne vokser mot uendelig når \(\sin^2(x)\) nærmer seg \(0\), det vil si når \(x\) går mot \(\ldots \, , -\pi, \, 0, \, \pi, \, 2\pi, \, \ldots\). Med symboler kan vi skrive \[ \lim_{x \to k\pi} f(x) = \infty , \quad k= \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots \]

La \(f\) være en funksjon definert i en omegn om punktet \(c\). Anta at grensen \( \lim_{x \to c} f(x)\) eksisterer, men at \(f\) ikke er kontinuerlig i punktet \(c\). Vi kan da finne en kontinuerlig utvidelse \(F\) av \(f\), gitt ved \[F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{når} \ x \neq c \\ \lim_{x \to c} f(x) & \text{når} \ x = c \end{cases} \] Vi merker oss at dersom grensen \(\lim_{x \to c} f(x)\) ikke eksisterer, så kan vi ikke finne en kontinuerlig utvidelse av \(f\) i \(c\).

I eksempelet "Beregning av en grense" så vi på funksjonen \(f(x) = \frac{x^2-9}{\sqrt x - \sqrt 3}\). Denne har definisjonsmengde \(D_f = (0,3)\cup (3, \infty)\), og funksjonen er diskontinuerlig i punktet \(x=3\) fordi den ikke er definert her. Men vi har sett at \(\lim_{x \to 3} f(x) = 12 \sqrt{3}\). Altså har \(f\) den kontinuerlige utvidelsen \[ F(x) = \begin{cases} \frac{x^2-9}{\sqrt x - \sqrt 3} & \text{ når } x>0, x\neq 3 \\ 12\sqrt{3} & \text{ når } x=3 \end{cases} \]

I eksempelet "Grenseverdien i et punkt er uavhengig av funksjonsverdien i punktet" er \(g(x)=x\) den kontinuerlige utvidelsen av \(f(x)\).

Vi kan formulere skjæringssetningen som følger:
Anta at \(f : \, [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) er en kontinuerlig funksjon hvor \(f(a)\) og \(f(b)\) har motsatte fortegn. Da finnes det et tall \(c \in (a,b)\) slik at \(f(c)=0\).

La oss se hvordan vi kan bruke skjæringssetningen til å vise at tredjegradspolynomet \(f(x) = x^3-20x+3\) har tre nullpunkter i intervallet \([-5, 5]\). Med dette mener vi at ligningen \(f(x)=0\) har tre løsninger i intervallet \([-5, 5]\). Vi merker oss at

\[f(-5) = -22, \quad f(0) = 3, \quad f(1) = -16, \quad f(5) = 28.\]

Altså følger det fra skjæringssetningen at \(f\) har minst ett nullpunkt i hvert av intervallene \((-5,0)\), \((0,1)\) og \((1,5)\). Et polynom av grad \(n\) kan maksimalt ha \(n\) nullpunkter. Vi kan dermed konkludere med at \(f\) har nøyaktig tre nullpunkter, og disse ligger i intervallet \([-5,5]\).

Et firma produserer sylinderformede hermetikkbokser, hvor høyden av en boks alltid er lik tre ganger bunnflateradien i boksen. Altså er volumet av boksen gitt ved \(V(r) = 3\pi r^3\), der \(r\) er bunnflateradien. Ønsket radius i boksene er \(5\)cm, og ønsket volum er følgelig \( V(5) = 375\pi\)cm\(^3\). Dersom volumet ikke skal avvike fra \( 375\pi\)cm\(^3\) med mer enn \(1\)cm\(^3\), hvor nøyaktig må vi måle radien? Vi ser at

\[ 375 \pi -1 < 3 \pi r^3 < 375 \pi +1 \quad \Longleftrightarrow \quad \sqrt[3]{\frac{375 \pi -1}{3 \pi}} < r < \sqrt[3]{\frac{375 \pi +1}{3 \pi}} \quad \Longleftrightarrow \quad 4.99858 < r < 5.00141. \]

Altså kan vi godta en usikkerhet i målingen av radien \(r\) på \( \pm 0.001\)cm.

Dette er analogt til den formelle definisjonen av en grense; gitt et akseptabelt avvik \( \varepsilon > 0\) fra \(V(5)\) i funksjonsverdien \(V(r)\), finner vi et akseptabelt avvik \(\delta > 0\) fra \(5\) i radien \(r\).

Vi skal vise at dersom \(\lim_{x \to a} g(x) = M\), så finnes et tall \(\delta >0\) slik at \[0 < |x-a| < \delta \quad \implies \quad |g(x)| < 1 + |M|.\]

Bevis

La oss først repetere den formelle definisjonen av en grense. At \(\lim_{x \to a} g(x) = M\) betyr at vi for enhver \( \varepsilon > 0 \) kan finne \( \delta >0 \) slik at \[0 < |x-a| < \delta \implies |g(x)-M| < \varepsilon.\] Dette gjelder for enhver \(\varepsilon > 0 \), så la oss se hva utsagnet sier når \( \varepsilon = 1 \): Det finnes en \( \delta > 0 \) slik at \[0 < |x-a| < \delta \implies |g(x)-M| < 1.\] Vi bruker så (den omvendte) trekantulikheten \(|a|-|b| \le |a-b|\) for å se at \[|g(x)-M| < 1 \implies |g(x)|-|M| < 1 \implies |g(x)| < 1 +|M|.\] Altså har vi vist at det finnes en \( \delta > 0 \) slik at \[0 < |x-a| < \delta \quad \implies \quad |g(x)| < 1 + |M|.\]