Differensialligninger

I en vanlig ligning er den ukjente et tall. I en differensialligning er den ukjente en funksjon, og ligningen gir en sammenheng mellom den ukjente funksjonen og noen av dens deriverte. Differesialligningene vokste fram i takt med integral- og differensialregningen. Newton var, i likhet med Leibniz, en av de første til å demonstrere at differensialligninger har et stort bruksområde i fysikken. Differensialligninger er et viktig matematisk hjelpemiddel også i mange andre fagfelt.

Innholdsfortegnelse:
Førsteordens differensialligninger
Eksistens og entydighet
Numeriske løsninger

Vi sier at en differensialligning er av første orden dersom det kun er den førstederiverte av den ukjente funksjonen som opptrer i ligningen. Vi ser nærmere på to forskjellige typer førsteordens differensialligninger.

Separable ligninger
En differensialligning kalles separabel dersom den kan skrives på formen \[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y),\] hvor \(f\) og \(g\) er kjente funksjoner. Denne kan vi løse ved å skrive ligningen som \[\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx,\] og så integrere begge sider av ligningen, venstre side med hensyn på \(y\) og høyre side med hensyn på \(x\). Merk: Dette vil gi riktig svar, selv om det rent matematisk er meningløst å dele opp \(dy/dx\) på denne måten.

Førsteordens, lineære differensialligninger
En førsteordens differensialligning er lineær dersom den kan skrives på formen \[\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),\] hvor \(p\) og \(q\) er kjente funksjoner. Slike ligninger løser vi ved å multiplisere begge sider av ligningen med \(e^{P(x)}\), hvor \(P\) er en vilkårlig antiderivert til \(p\): \[ e^{P(x)} \frac{dy}{dx} + e^{P(x)}p(x)y = e^{P(x)}q(x) \] Vi gjenkjenner nå venstre side i ligningen som den deriverte av produktet \(ye^{P(x)}\). Integrerer vi begge sider i ligningen med hensyn på \(x\) får vi derfor at \[e^{P(x)}y = \int e^{P(x)}q(x) \, dx + C.\] Dermed er løsningen av differensialligningen gitt ved \[ y = e^{-P(x)}\left(\int e^{P(x)}q(x) \, dx + C \right). \] Vi kaller gjerne \(e^{P(x)}\) en integrerende faktor.

Dersom vi ønsker å finne en løsning av en differesialligning som oppfyller en bestemt startverdi, si vi at vi har et initialverdiproblem: \[ \frac{dy}{dx} = f(x,y) \, , \qquad y(x_0) = y_0. \qquad (*) \] Følgende teorem forteller oss når vi kan vite at vi har én, og nøyaktig én, løsning på dette initialverdiproblemet.

Teorem: Eksistens og entydighet
Dersom funksjonen \(f\) er kontinuerlig deriverbar, både med hensyn på \(x\) og \(y\), så har initialverdiproblemet \((*)\) en unik løsning \(\phi\), definert på et intervall \((a,b)\) som inneholder \(x_0\). Dette betyr at \[\phi'(x) = f(x, \phi(x)) , \quad x \in (a,b) , \] \(\phi(x_0)=y_0\), og \(\phi\) er den eneste funksjonen som oppfyller disse to betingelsene.

Selv når vi vet at initialverdiproblemet \[ \frac{dy}{dx} = f(x,y) \, , \qquad y(x_0) = y_0. \qquad (*) \] har en løsning, er det ikke nødvendigvis slik at vi kan løse problemet ved hjelp av en formel eller en regneoppskrift. For de aller fleste differensialligninger må vi ty til andre midler, for eksempel numeriske metoder, for å si noe om løsningsfunksjonene. Vi skal se på to numeriske metoder hvor vi begynner med å velge en steglengde \(h>0\), og deretter beregner en tilnærmet verdi til løsningsfunksjonen \(y\) i punktene \[ \begin{align} &x_0 , \\ &x_1 = x_0+ h, \\ &x_2= x_0 + 2h, \ldots\\ \end{align} \]

Eulers metode
Når vi bruker Eulers metode med skrittlengde \(h\) til å regne ut en tilnærmet løsning av initialverdiproblemet \((*)\), er den tilnærmede løsningen i punktene \(x_n = x_0 + nh\) gitt ved \[y_0=y(x_0) , \qquad y_{n+1} = y_{n} + hf(x_{n},y_{n}).\]

Heuns metode
Når vi bruker Heuns metode med skrittlengde \(h\) til å regne ut en tilnærmet løsning av initialverdiproblemet \((*)\), er den tilnærmede løsningen i punktene \(x_n = x_0 + nh\) gitt ved \[y_0 = y(x_0), \qquad y_{n+1} = y_{n} + h \frac{f(x_n, y_n)+f(x_{n+1}, u_{n+1})}{2} , \] hvor \[ u_{n+1} = y_n+hf(x_n, y_n) .\]

Andre numeriske metoder
Det finnes en rekke andre numeriske metoder. En metode som brukes mye i praksis er Runge-Kutta-metoden av fjerde orden. Denne er mer kompleks, men også mer nøyaktig, enn både Eulers metode og Heuns metode.