Grenser og kontinuitet

  • Grensebegrepet for funksjoner står svært sentralt i kalkulus.
  • I dette kapittelet skal vi bruke grensebegrepet til å definere kontinuitet. Senere skal vi se at også den deriverte av en funksjon, og det bestemte integralet, defineres ved bruk av grensebegrepet.


Sentrale begreper

Trykk på det grå feltet for mer informasjon om emnet.

- En uformell definisjon av grenseverdi

- En uformell definisjon av grenseverdi


Anta at funksjonen \(f\) er definert i nærheten av punktet \(a\). Vi sier at \(L\) er grenseverdien til \(f(x)\) når \(x\) går mot \(a\) dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(x\) tilstrekkelig nær (men ikke lik) \(a\). Med symboler skriver vi

\[L=\lim_{x\to a} \ f(x).\]

Relevante kapitler i boka: 1.1-1.2
Relevante videoer:
- Hva skal vi med grenseverdier? Del 1 (08:01-11:52)
- Hva skal vi med grenseverdier? Del 2 (00:00-02:18).
Relevante eksempler:
- Grenseverdien i et punkt er uavhengig av funksjonsverdien i punktet
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.1.5-8, 1.1.12-13, 1.2.1


- Ensidige grenser

- Ensidige grenser


Noen ganger er vi interessert i hvordan en funksjon oppfører seg når vi nærmer oss et punkt fra en bestemt side. Vi snakker da om en ensidig grense.

Definisjon: En uformell definisjon av ensidige grenser
Vi sier at \(L\) er grenseverdien til \(f(x)\) når \(x\) går mot \(a\) ovenfra, eller fra høyre, dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(x\) større enn, og tilstrekkelig nær (men ikke lik) \(a\).

Med symboler skriver vi \[\lim_{x\to a^+}f(x)=L\]

På helt tilsvarende måte kan vi definere grenseverdien til \(f(x)\) når \(x\) går mot \(a\) nedenfra, eller fra venstre.


Teorem:
Den tosidige grenseverdien \(\lim_{x \to a} f(x)\) eksisterer og er lik \(L\) hvis og bare hvis begge de ensidige grensene \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) og \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) eksisterer og er lik \(L\). Med symboler kan vi skrive

\[\lim_{x\to a}f(x)=L\iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L\].

Relevante kapitler i boka: 1.2
Relevante eksempler:
- En funksjon med forskjellige ensidige grenser i et punkt
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.2.3, 1.2.5, 1.2.55, 1.2.57


- Regneregler for grenser

- Regneregler for grenser


Vi har en rekke regneregler til rådighet når vi jobber med grenser.

Teorem:
Anta at de to funksjonene \(f\) og \(g\) begge er definert i nærheten av \(a\), og at \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) og \(\lim_{x\to a}g(x)=M\). Da gjelder følgende:

  1. \(\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M\)
  2. \(\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)]=L-M\)
  3. \(\lim_{x\to a}f(x)g(x)=LM\)
  4. \(\lim_{x\to a}kf(x)=kL\) for enhver konstant \(k\).
  5. \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, \quad \text{forutsatt at} \,\, M\neq 0.\)
  6. La \(m\) og \(n\) være heltall, hvor \(n>0\). Da er \(\lim_{x\to a}[f(x)]^{m/n}=L^{m/n}\), forutsatt at \(L>0\) hvis \(n\) er et partall og \(L\neq 0\) hvis \(m<0\).
  7. Dersom det finnes en \(c>0\) slik at \(f(x)\le g(x)\) for alle \(x\in (a-c,a)\cup (a,a+c)\), så er \(L\le M\).

(Vi merker oss at punkt 7 ikke holder med strenge ulikheter. Det vil si: Selv om \(f(x)< g(x)\) for alle \(x\in (a-c,a)\cup (a,a+c)\), kan vi ikke konkludere med at \(L<M\).)

Alle disse regnereglene gjelder også for ensidige grenser.

Skviseteoremet kan være et nyttig verktøy når vi jobber med grenser.

Teorem: Skviseteoremet
Dersom vi kan finne to funksjoner \(f\) og \(h\) slik at \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\) og \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) for alle \(x\in (a-c,a)\cup (a,a+c)\), så er \(\lim_{x\to a}g(x)=L\).

Skviseteoremet gjelder også for ensidige grenser.

Relevante kapitler i boka: 1.2
Relevante eksempler:
- Beregning av en grense
- Grenseregning for rasjonale funksjoner
- Skviseteoremet
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.2.9, 1.2.23, 1.2.25, 1.2.75, 1.2.77


- Grenseverdier i uendelig

- Grenseverdier i uendelig


Det hender at vi ønsker å se på hva som skjer med en funksjon \(f\) når variabelen \(x\) blir veldig stor, eller veldig liten. Vi får da bruk for grenseverdien av \(f(x)\) når \(x\) går mot \(\infty\) eller \(-\infty\). Denne defineres som følger.

Definisjon: En uformell definisjon av grenseverdien i uendelig
Vi sier at \(f(x)\) går mot \(L\) som grenseverdi når \(x\) går mot \(\infty\) dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(x\) tilstrekkelig stor. Med symboler skriver vi

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=L.\]

Likeledes sier vi at \(f(x)\) går mot \(L\) som grenseverdi når \(x\) går mot \(-\infty\) dersom vi kan få avstanden mellom \(f(x)\) og \(L\) så liten vi måtte ønske ved å velge \(-x\) tilstrekkelig stor. Vi skriver

\[\lim_{x\to -\infty}f(x)=L.\]

Regnereglene for grenser nevnt ovenfor gjelder også for grenser i uendelig.

Relevante kapitler i boka: 1.3
Relevante videoer:
- Hva skal vi med grenseverdier? Del 1 (05:31-08:00).
Relevante eksempler:
- Grenseverdi i uendelig
- Grensen av en rasjonal funksjon i uendelig
- Bruk av skviseteoremet i uendelig
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.3.3, 1.3.29, 1.3.33


- Uendelige grenser

- Uendelige grenser


Av og til vil ikke funksjoner nærme seg en grense når \(x\) går mot \(a\), men tvert i mot vokse ubegrenset. Da er følgende definisjon nyttig.

Definisjon: Vi sier at en funksjon \(f\) går mot uendelig når \(x\) går mot \(a\) dersom vi kan få \(f(x)\) så stor vi måtte ønske ved å velge \(x\) tilstrekkelig nær (men ikke lik) \(a\). Med symboler skriver vi \[\lim_{x\to a}f(x)=\infty .\]

Når vi skriver \(\lim_{x\to a}f(x)=\infty\) mener vi altså ikke at grensen \(\lim_{x \to a} f(x)\) eksisterer; vi forteller hvorfor den ikke eksisterer (fordi \(f\) vokser ubegrenset når \(x\) nærmer seg \(a\)).

På helt tilsvarende måte kan vi definere \(\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\), \(\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\) og \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\).

Relevante kapitler i boka: 1.3
Relevante eksempler:
- Uendelige grenser
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.3.13, 1.3.33


- Kontinuitet

- Kontinuitet


At funksjonen \(f\) er kontinuerlig i punktet \(a\) betyr intuitivt at funksjonsverdiene \(f(x)\) nærmer seg \(f(a)\) når \(x\) nærmer seg \(a\). Denne uformelle beskrivelsen gir imidlertid rom for ulike tolkninger, og for at vi alle skal være enige om hva vi mener med en kontinuerlig funksjon trenger vi en presis definisjon.

Definisjon: Kontinuitet i et punkt
En funksjon \(f\) er kontinuerlig i et punkt \(a \in D_f\) dersom grenseverdien til \(f\) når \(x\) går mot \(a\) er lik funksjonsverdien i punktet, \(f(a)\). Med symboler skriver vi

\[\lim_{x \to a} \ f(x) = f(a).\]

Akkurat som for grenseverdier, kan vi snakke om kontinuitet fra høyre eller venstre. Dette kan for eksempel være nyttig dersom vi vil diskutere kontinuitet i endepunktet av et intervall, og vi kun er interessert i hvordan funksjonen oppfører seg når vi nærmer oss punktet fra den ene siden.

Definisjon: Kontinuitet fra høyre og venstre
Vi sier at en funksjon \(f\) er kontinuerlig ovenfra, eller fra høyre, i punktet \(a\), dersom

\[ \lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).\]

På helt tilsvarende måte definerer vi kontinuitet nedenfra, eller fra venstre.

Definisjon: Kontinuitet på et intervall
Vi sier at en funksjon \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) er kontinuerlig på intervallet \([a,b]\) dersom \(f\) er kontinuerlig i alle indre punkter \(c \in (a, b)\), samt kontinuerlig fra høyre i punktet \(a\) og kontinuerlig fra venstre i punktet \(b\).

Relevante kapitler i boka: 1.4
Relevante videoer:
- Hva skal vi med grenseverdier? Del 1 (00:00-05:30) og (08:01-11:52)
- Hva skal vi med grenseverdier? Del 2 (00:00)-(02:18).
- Kontinuitet og deriverbarhet i et punkt (Eks K2012 oppg 2) (13:39)
Relevante pencaster:
- Hvordan vi intuitivt forstår kontinuitet (engelsk) (1:42)
Relevante eksempler:
- Kontinuerlige utvidelser
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.4.1, 1.4.3, 1.4.5, 1.4.11, 1.4.15, 1.4.17, 1.4.23


- Ekstremalverdisetningen og skjæringssetningen

- Ekstremalverdisetningen og skjæringssetningen


Ekstremalverdisetningen og skjæringssetningen er to grunnleggende resultater om kontinuerlige funksjoner.

Ekstremalverdisetningen sier at enhver kontinuerlig funksjon \(f\) på et lukket intervall \([a, b]\) har en maksimums- og en minimumsverdi. Dette betyr at vi på grafen til \(f\) kan finne et høyeste og et laveste punkt.

Teorem: Ekstremalverdisetningen
La \(f\) være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall \([a,b]\). Da finnes det tall \(p\) og \(q\) i \([a,b]\) slik at \[f(p) \le f(x) \le f(q)\] for alle \(x \in [a, b]\).

Skjæringssetningen sier at en funksjon \(f\) definert på et lukket intervall \([a,b]\) tar alle verdier mellom \(f(a)\) og \(f(b)\). Dette underbygger vår intuitive følelse av at kontinuerlige funksjoner har "sammenhengende" grafer.

Teorem: Skjæringssetningen
Dersom \(f\) er en kontinuerlig funksjon på intervallet \([a,b]\), så finnes det for enhver \(s\) mellom \(f(a)\) og \(f(b)\) en \(c \in [a,b]\) slik at \(f(c) = s\).

Relevante kapitler i boka: 1.4
Relevante pencaster:
- Skjæringssetningen (engelsk) (1:41)
- Ekstremalverdisetningen (engelsk) (1:30)
Relevante eksempler:
- Å bruke skjæringssetningen til å finne nullpunkter
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.4.29, 1.4.31


- Den formelle definisjonen av en grense

- Den formelle definisjonen av en grense


Den uformelle definisjonen av en grense gir oss en intuitiv forståelse av hva vi mener med en grenseverdi, men når vi skal regne med grenser trenger vi en presis definisjon. Formelt definerer vi grenseverdien i et punkt som følger.

Definisjon: Den formelle definisjonen av en grense
Anta at funksjonen \(f\) er definert i et intervall rundt punktet \(a\) (unntatt muligens i \(a\) selv). Vi sier at \(f(x)\) nærmer seg \(L\) som grenseverdi når \(x\) går mot \(a\) dersom følgende gjelder. For ethvert tall \(\varepsilon > 0\) finnes det et tall \(\delta>0\) slik at \(| \, f(x) - L \, | < \varepsilon\) for alle \(x\) som oppfyller \( 0 < | \, x - a \, | < \delta \).

På tilsvarende vis kan vi formelt definere ensidige grenser, grenser i uendelig og uendelig grenser.

Relevante kapitler i boka: 1.5
Relevante videoer:
- Definisjon av grenseverdier (16:47)
Relevante eksempler:
- Akseptabelt avvik i volumet av en blikkboks
- En anvendelse av den formelle definisjonen av en grense
Relevante Mapleark:
- Noen spesielle eksempler
Relevante oppgaver i boka: 1.5.1, 1.5.5, 1.5.9, 1.5.20


Forelesninger: Uke 33-34
Kapitler i boka: 1.1-1.5.
Eksempler
Multimedia
Maple
Anbefalte oppgaver

2014-09-04, Sigrid Grepstad