Fremdrift på forelesningene

Hvor er vi: Vi ser oss nå ferdige med kapittel 8. 17.11 så vi på konvergens av potensrekker. Nøkkelbegreper: Konvergensintervall konvergensradius. Dette lot oss beskrive funksjoner ved hjelp av potensrekker. I denne sammenhengen har vi Naturlig definisjonsområde=konvergensintervall. 18.11 Så vi på det "motsatte": For visse funksjoner lar det seg gjøre å generere taylorrekker. Vi diskuterte SPØRSMÅLET: For hvilke x-verdier konvergerer taylorrekka mot den gitte funksjonen? Dette omformulerte vi til: For hvilke x-verdier konvergerer restleddet i Taylors teorem mot 0?. Videre så vi på enkelte anvendelser av rekkeutvikling: Rekkeutvilking av vanskelig integral. Beregning av grenseverdier.

Fremover: I neste uke skal vi studere kapittel 15.1-15.5, med vekt på 15.2. Videre skal vi repetere en del.

Spesielle forhold: Vi følger følgende forelesningsplan den siste uken:

Hvor er vi: Vi er dypt inne i kapittel 8. Et hovedspørsmål er hvordan vi kan avgjøre om en rekke er konvergent. Vi har en del tester som fungerer fint for rekker med ikkenegative ledd: Integralsammenligning, direkte sammenligning med andre rekker, grensesammenligningstesten, forholsdtesten/rottesten. For alternerende rekker har vi sett på Leibniz' test, som kan hjelpe oss med å håndtere rekker som ikker er absolutt konvergente.

Vi har også begynt å se på potensrekker. Dette gir oss en ny måte å beskrive funksjoner.

Fremover: Vi skal studere konvergensradien og -intervallet til potensrekker, og blant annet lære at potensrekker konvergerer absolutt i det indre av konvergensintervallet. Videre skal vi ta for oss taylorrekker og taylorpolynomer, og spesielt se på binomialrekken. Neste uke skal vi kikke på kap. 15, som tar for seg differensiallingninger.

Martin Wanvik Reed vikarierer. Går gjennom kapittel 7, og starter med kapittel 8.

Hvor er vi: Vi har nå sett på enkelte anvendelser av integrering: Lengde-, areal- og volumberegninger. D.v.s. kap 6.1-6.4. Vi har så vidt snust borti separable differensialligninger.

Fremover: Martin vil fullføre behandlingen av separable differensiallininger, og ta fatt på kapittel 7, som tar for seg ulike integrasjonsteknikker.

Hvor er vi: Vi har arbeidet oss gjennom kapittel 5, og dermed innført integrasjon. Vi tok utgangspunkt i en diskusjon av arealbegrepet, og beviste analysens fundamentalteorem i en geometrisk setting. Deretter innførte vi Riemann-integralet, og satte det i sammenheng med arealbegrepet. Vi så hvordan Riemannintegralet til positive funksjoner er relatert til arealet under grafen. Andre viktige punkter vi så på: Regneregler for integral, substitusjonsregelen. Mere generelle arealberegninter.

Fremover: Vi arbeider oss videre med kapittel 6: Anvendelser av det bestemte integral. På tirsdag 6.10 kommer vi til å diskutere lengde-, volum- og arealberegninger. Etter planen skal vi på onsdag også komme inn på kap 6.5, som har med differensiallignigner å gjøre.

OBS: Midtsemesterprøve 10.10 kl. 0900. Pensum: Kap 1-5. Mer info på fagets hovedside.

Hvor er vi: Vi har gjort oss ferdig med kapittel 4. Viktige punkter denne uken var kurvedrøfting. Vi så hvordan vi ved å studere den deriverte og den annenderiverte kan finne viktig informasjon om kurvers utseende. Stikkord: Asymptotisk oppførsel/Oppførsel i uendelig, kritiske punkter, vendepunkter, fortegnet til den deriverte og den annenderiverte. Et annet viktig punkt var l'Hôpitals regel, som gir oss en teknikk som lar oss beregne enkelte gjenstridige grenseverdier. Videre så vi på Newtons metode for løsning av ligninger. I øvingene blir dere sannsynligvis bedt om å bruke denne metode. Foreleseren la vekt på denne metoden som et skrekkens eksempel på en algoritme som kan gi veldig uforutsigbare resultat. Se for øvrig illustrasjoner under Ymist. Vi innførte også de antideriverte som en innledning til kapittelet om derivasjon.

Fremover tar vi fatt på integrasjon. Definisjon av det bestemte integralet, samt enkelte integrasjonsteknikker.

Hvor vi er: Vi har nå tatt fatt på anvendelser av derivasjon. Til nå har vi sett på globale ekstremverdiproblemer samt ekstremverdisetningen og middelverdisetningen. En kjekk konsekvens av middelverdisetningen var at det ble enkelt å se at to funksjoner som har samme derivert på et intervall, har konstant differans. Det lot oss f.eks enkelt se at logaritmen overfører multiplikasjon til addisjon.

Fremover: Vi satser på å gjøre oss ferdige med kapittel 4 i løpet av neste uke.

Hvor vi er: Vi har nå etablert en rekke regneregler for derivasjonsoperasjonen. Dermed vet vi hvordan vi skal behandle algebraiske kombinasjoner av funksjoner, samt sammensatte og inverse funksjoner. Dermed har vi alle derivasjonsreglene på plass. (Det finnes nok flere, men vi skal ikke se på flere.). Dessuten har vi sett at vi kan derivere mye mer enn vanlige uttrykk av typen y=f(x). Et viktig eksempel på dette er implisitt derivasjon. Motto: Deriver det du måtte ønske, under forutsetning av at du har bestemt deg for hvilke variabler som avhenger funksjonelt av hvilke, og ikke minst hvilken variabel du deriverer med hensyn på.

Spesielle forhold: Forelseningen 1.9. og 2.9. hadde i stor grad preg av repetisjon fra videregående skole, med unntak av beviset for kjerneregelen, som vi gjorde meget grundig.

Fremover: I neste uke samler vi sammen løse tråder fra kapittel 3, og går løs på kapittel 4 på onsdagen. Vi skal se på anvendelser av derivasjon innenfor funksjonsanalyse.

Hvor vi er:Vi har fullført behandlingen av kapittel 1 og 2, og så vidt begynt på kapittel 3, som handler om derivasjon.

Spesielle forhold: Vi gransket tangent-begrepet nokså grundig, for å supplere lærebokas kapitler 2.1, 2.6, 3.3. Disse kapitlene er utmerket sengelektyre.

Fremover: Neste uke vil være viet til derivasjonsregning. Vi vil forsøke å dekke avsnittene 3.2, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 og eventuelt 3.11.