Torgeir Aambø

Hei!

Under finner du en liste med tre temaer jeg kunne tenkt meg å veilede prosjekter i. Merk at jeg er stipendiat, så kan dermed kun veilede bacheloroppgaver. Dersom du er masterstudent og synes temaene under er interessante anbefaler jeg å kontakte Drew Heard som har noen av de samme matematiske interessene som meg.

Jeg er generelt interessert i mange ulike deler av topologien og algebraen, så disse tre er bare forslag til hva vi kunne laget en bacheloroppgave ut av. Det viktigste er at du selv synes tema er interessant og spennende, så dersom du har noe annet du kunne tenkt deg å skrive om er det bare å foreslå dette! Generelle stikkord på mine interesseområder: kohomologiteori, homotopiteori, homotopigrupper, kromatisk homotopiteori, spektralfølger, algebraiske strukturer i topologi.

Dersom du er interessert eller bare har noen spørsmål er det bare å ta kontakt: kontaktinfo

Nøkkelord: Knuter og lenker, toruser, homotopigrupper, K-teori, vektorbunter.

Det finnes bare \(4\) reelle divisjonsalgebraer: De reelle tallene \(\mathbb{R}\), de komplekse tallene \(\mathbb{C}\), kvaternionene \(\mathbb{H}\) og okternionene \(\mathbb{O}\). Altså finnes det for eksempel ikke et \(3\)-dimensjonalt velfungerende tallsystem. Måten man beviser dette på bruker spennende topologi — ved at det bare finnes \(4\) avbildninger mellom sfærer som har såkallt Hopf invariant \(h\) lik \(1\). Disse avbildningene starter i \(S^1\), \(S^3\), \(S^7\) og \(S^{15}\) som er vektorene med lengde \(1\) i \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{C}^2\), \(\mathbb{H}^2\) og \(\mathbb{O}^2\) respektivt. Den mest kjente avbildningen med Hopf invariant \(1\) er Hopf fibrasjonen \(\eta\colon S^3\to S^2\) som genererer den første "høyere" homotopigruppen \(\pi_3(S^2)\cong \mathbb{Z}\). Denne er opphavet til nydelige bilder og illustrasjoner av sfærenes kompleksitet, og viser at det kan være store forskjeller på homotopi og homologi.

Denne bacheloroppgaven kan for eksempel gå ut på å forstå Hopf fibrasjonen, hvorfor den har Hopf invariant \(1\), og hvis man er interessert, hvorfor det bare er eksisterer fire divisjonsalgebraer. Vi kan, avhengig av hva du er interessert i også utvide i andre retninger til å se på K-teori, Liegrupper eller bildet av J-homomorfien (som for eksempel kobler Riemann-Zeta funksjonen til homotopigrupper).

Nøkkelord: Homotopigrupper, ortogonale matriser, Bott periodisitet, h-kobordismer

En av de sentrale problemene i algebraisk topologi er å forstå sfærenes homotopigrupper. Disse er uhyre kompliserte og det er egentlig forventet at vi aldri kommer til å forstå de i full detalj. Moderne topologer prøver derfor å se etter spesifikke mønstre i disse gruppene, og en av mønstrene man har funnet er periodisitet. Den enkleste periodisiteten kommer fra den såkalte \(J\)-homomorfien, som er en avbildning fra homotopigruppene til den uendelige ortogonale gruppen til homotopigruppene til sfærene: \(J_k\colon \pi_k(O(\infty))\to \pi_k\mathbb{S}\). Studiet av bildet til denne morfien lar oss forstå mange egenskaper med homotopigruppene til sfærene. Det dukker også opp mye kul matematikk man kan grave seg inn i, som koblinger til Riemann-Zeta funksjonen og tallteori.

Denne bacheloroppgaven kan for eksempel gå ut på å forstå \(J\)-homomorfien, og noen grupper i bildet av morfien. Vi kan bruke dette bildet til å beregne noen av sfærenes første homotopigrupper. Det er også mye kul omliggende matematikk som vi heller kan se på dersom du er mer interessert i andre koblinger.

Nøkkelord: Koringer, koalgebraer, ko-kontra dualitet, kategorier, monader

I algebraens verden studerer man ofte en ring \(R\) via å se på moduler over denne ringen. Dersom \(R=\mathbb{Z}\) så er en modul over \(\mathbb{Z}\) bare en abelsk gruppe, og dersom \(R\) er en kropp \(k\) er en modul det samme som et \(k\)-vektorrom. Man kan dualisere denne teorien og isteden studere en koring \(C\) og komoduler over denne koringen. Dette er det gjort mye av i både algebra og topologi, men det er en tredje — forglemt og bortgjemt — type modul som det nesten aldri snakkes om. Disse kalles kontramoduler, og er veldig rare men interessante objekter. En kontramodul over \(C\) kan tenkes på som en abelsk gruppe \(A\) med en dualvirkning fra \(C\), altså en avbildning \(Hom(C,A)\to A\). De dukker opp i \(p\)-adiske tall, komplettering, algebraisk geometri og dualitetsteori.

Denne bacheloroppgaven vil være ganske fri for å lede den der du selv synes er interessant. Jeg har noen ideer om disse kontramodulene jeg tror kan være interessant å se på, men som nevnt er de svært understuderte.