Prosjekter tilbydt av Stine Marie Berge

Eg tilbyr prosjekt innanfor ulike tema i differensialgeometri (svært likt differensialtopologi berre med meir fokus på geometrien som avstandar og symmetri):

• Spektralgeometri.
• Irreduserbare Unitere Representasjonar på Liegrupper.
• Geometri i maskinlæring.

For meir informasjon, sjå under eller ta kontakt: Kontaktinfo

Spektralgeometri handlar om å studere forholdet mellom geometrien på objektet og eigenverdiane til laplaceoperatoren. Det enklaste dømet er som følger:

La oss ta for oss ein gitarstreng. Det vi veit er at om slår på strengen kjem det lyd. Denne lyden er oppbygd av fleire tonar som øyra våre kan høyra forskjell på. Den djupaste tonen er kalla fundamentaltonen til strengen, og dei andre lysare tonane er kalla overtonar. Det som visar seg er at ved å vite spenninga til strengen og kva fundamentaltonen er, kan man berekne lengda på strengen. Med andre ord kan man få all informasjonen om geometrien til strengen frå tonane den kan lage.

Om vi går meir matematisk til verks, kan vi finne tonane til strengen med å løyse likninga \[\begin{cases} f''(x) + \lambda f(x)=0, \quad x\in [0,L]\\ f(0)=f(L)=0 \end{cases}\] kor \(L\) er lengda og \( \lambda \) er ein av tonane. Løysingane er gitt med eigenfunksjonane \[f(x)=\sin(xn\pi/L)\] kor tonane eller eigenverdiane er \[\lambda = \frac{n^2\pi^2}{L^2}.\] I matte 4 lærer vi korleis fourierrekkjer kan brukast til å løyse varmelikninga, bølgelikninga, og poissonlikninga. Og når ein slår på strengen får ein ei løysing på bølgelikninga, kor ein kan høyre kor mye kvar tone bidrar.

Vi kan generalisere dette til andre objekt. La $D$ være eit domene har vi at \[\begin{cases} \Delta f(x) + \lambda f(x)=0, \quad x\in D\\ \left. f\right|_{\partial D}=0. \end{cases}\] Om vi veit alle løysingane veit vi også kva for nokre tonar domene kan lage. I tillegg kan vi bruke metodane vi lærte i matte 4 for løyse varmelikninga, bølgelikninga, og poissonlikninga på det nye domene. Det er berre eit problem: i dei fleste tilfelle er tilnærma umogleg å finne alle eigenverdiane eksakt på eit domene . Heldigvis kan vi få masse informasjon om eigenverdiane ved å bruke informasjon om domene , og det er i grunn dette spektralgeometri går ut på. Til dømes, har vi at større trommer alltid lager mørkare lyd.

• Spectral Theory, Basic Concepts and Applications, D. Borthwick
• Eigenvalues in Riemannian Geometry, I. Chavel

Det er mogleg å forme oppgåva etter interesser og forkunnskapar. Om emnet tillet, kan også oppgåva kan skrivast i toargrupper. I alle oppgåvene vil det være naturleg å byrje oppgåva med generell teori om laplaceoperatoren. Sjå referansane over for meir informasjon om dette.

Det er generelt to ulike typar problem vi kan velje å fokusere på i oppgåva:

• Samanlikningsresultat, kor vi brukar geometri til å samanlikne ulike eigenverdiar.
• Lokale eigenskapar til løysingar, for eksempel kvantitativ unik utviding.

Sida fagfeltet er i stadig utvikling er det best å ta kontakt for å finne ut meir om spesifikke problem du kan jobbe med.

Spektralgeometri er ein blanding mellom geometri på mangfoldigheiter og elliptiske partielle differentiallikningar. Gode kunnskapar om eit av tema kan gjere opp for manglande kunnskapar i det andre.

Det er mogleg å forme oppgåva etter interesser og forkunnskapar. Om emnet tillet, kan også oppgåva kan skrivast i toargrupper. I alle oppgåvene vil det være naturleg å byrje oppgåva med generell teori om laplaceoperatoren.

Sida det er vanskeleg å finne eigenverdiane eksakt finnes det fleire opne problem i sjølv de enklaste tilfella.

I denne oppgåva skal vi studere eigenverdiar på polygon og kva som er vist i dette tilfellet. La oss sei at du har ein polygonforma tromme. Om du slår på denne tromma, kva for nokre tonar kan den lage? Kva for nokre polygon lager den mørkaste tona? Kan to ulike trommer høyrest heil like ut? Dette er døme på spørsmål vi kan utforske i denne oppgåva. Det viser seg at sjølv om polygon er ein av dei enklaste formene ein kan tenkje seg, er det mye ein ikkje veit om kva for nokre eigenverdiar den har.

I dette prosjektet skal vi studere eigenverdiar og eigenfunksjonar på sfæren. Dette eksempelet er svært viktig for samanlikningsgeometri, samt at dei har samanheng med eigenverdiproblemet på ballar i \(\mathbb{R}^n\). Det vil være naturleg å både utforske eigenverdiar og eigenfunksjonar på heile og delar av sfæren.

Harmoniske funksjonar \(h:U\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) er definert som \(\Delta h = 0\). Det er mogleg å definere harmoniske avbildingar meir generelt, for eksempel frå \(h:U\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) ved å minimere dirichletenergien. Dette prosjektet omhandlar å utdjupe om temaet, og finne ut kva som er vist om harmoniske avbildingar.

For bachelorprosjekt vil det være mogleg å skrive et prosjekt basert på vanleg studieløp.

Dette prosjektet omhandlar representasjonsteori på liegrupper. Det viktigaste eksempelet finner vi i kvantemekanikk, der representasjonar på heisenberggruppa \(H\) har ein sentral rolle. Den er faktisk så sentral at den har fått sitt eiga namn: Scrödingerrepresentasjonen som vi kjem til å denotere med \[\pi:H\times L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R}).\] Ein av dei viktigaste grunnene til dette er samanhengen mellom schrödingerrepresentasjonen og kvantisering. Kvantisering er ein prosedyre som tek klassiske variablar (funksjonar av posisjon og momentum) til operatorar som virke på funksjonar av posisjon. I dette tilfellet går å addere i argumentet til å adjungere med schrödingerrepresentasjonen etter kvantisering.

Det er fleire retningar vi kan ta dette prosjektet. Alt ifrå ein meir kvantemekanik retning, til PDE via å studere schrödingerlikninga. Motivasjonen for kva vi gjer samt metodane som kjem til å bli brukt i prosjektet kjem stort sett frå kvantemekanikk, sjølv om ikkje prosjektet i seg sjølv kjem til å ha med det å gjere.

• Quantum Theory for Mathematicians, B.C. Hall
• A Course in Abstract Harmonic Analysis, G.B. Folland

Tema i masteroppgåvene er det same som i bacheloroppgåvene, men å ta det videre til forskingsfronten. Det kommer til å være fokus på korleis å bruke geometri til å svare på og forenkle problema.

Gode forkunskapar i matematikk. Det er en fordel om du har tatt emne innenfor geometri og analyse.

Dette prosjektet tek for seg å studere irreduserbare representasjonar på grupper. Det vil være naturleg å ta for seg eit spesifikk døme, til dømes, øvretriangulere matriser, igjennom hele prosjektet for å belyse teorien.

Ikkje direkte linka til representasjonsteori, men ein sentral del av kvantefysikk. Her er det litt fritt med kva fokus vi ønsker å studere.

Vanleg studieløp bør holde.

Det er fleire tema innanfor maskinlæring som bruker geometri på forskjellige måter. Eksempler er

• Geometrisk dyp læring. For ein introduksjon sjå blogg
• Mangfoldigheitslæring

Dette temaet blir ikkje tilbydt som eit bachelorprosjekt da det har for mange forkunnskapar.

Nyttige kurs som blir tilbydt ved NTNU for alle prosjekta er:

• Introduksjon til Lie-teori
• Differensialtopologi

• Partielle differensialligninger
• Harmonisk analyse
• Differensialformer på mangfoldigheter

• Statistisk læring
• Gode kunnskapar i programmering

• Funksjonalanalyse
• Fourieranalyse
• Harmonisk analyse
• Wavelets

Kursa over er forslag til emne som kan tas for dei forskjellege prosjketa. I tillegg kommer det til å være lesekurs om det temaet som er valt.

• Analysis of the Wave Equation on the Disk, Henrik Luthentun Fischbeck, https://ntnuopen.ntnu.no/ntnu-xmlui/handle/11250/3139137