Utvidelser av Poissons summasjonsformel

Poissons summasjonsformel sier at \[\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}(k)\] under rimelige betingelser på funksjonen \(f\). Denne fundamentale sammenhengen mellom \(f\) og dens Fouriertransform \(\hat{f}\) har viktige anvendelser innen signalbehandling, og i senere år er det funnet nye varianter av formelen der det summeres over en annen følge av punkter enn nettopp heltallene. Med andre ord finnes det andre tallfølger \(\Lambda \subset \mathbb R\) slik at \begin{equation} \sum_{\lambda \in \Lambda} a(\lambda) f(\lambda) = \sum_{\lambda \in \Lambda} b(\lambda) \hat{f}(\lambda), \quad \quad \quad \quad (1) \end{equation} der \(a(\lambda)\) og \(b(\lambda)\) er konstanter. Lev og Olevskii har etablert en summasjonsformel av typen (1) ved bruk av kvasikrystaller i [3]. I et nyere arbeid viser Meyer og Díaz at det er en sammenheng mellom summasjonsformler av typen (1) og løsningen av bølgeligningen for visse initialverdier [5]. En mulig prosjekt- eller masteroppgave vil være å sette seg inn i disse arbeidene, og få en dypere forståelse av hvordan formler av typen (1) dukker opp.

Referanser

  • [1] A. P. Guinand, Concordance and the harmonic analysis of sequences, Acta Math. 101 (1959), 235–271.
  • [2] N. Lev og A. Olevskii, Fourier quasicrystals and discreteness of the diffraction spectrum, Adv. Math. 315 (2017), 1–26.
  • [3] N. Lev og A. Olevskii, Quasicrystals with discrete support and spectrum, Rev. Mat. Iberoam. 32 (2016), 1341–1352.
  • [4] N. Lev og A. Olevskii, Quasicrystals and Poisson's summation formula, Invent. Math. 200 (2015), 585–606.
  • [5] Y. Meyer og J. I. Díaz, Poisson summation formulae and the wave equation with a finitely supported measure as initial velocity, Afr. Diaspora J. Math. 20 (2017), 1–13.
2018-04-13, Sigrid Grepstad