Parkorrelasjoner og additiv energi

La \(\{a_n\}_{n\geq 1}\) være en tallfølge i intervallet \([0,1)\). Vi sier at parkorrelasjonene til følgen \(\{a_n\}\) er asymptotisk Poissonfordelte dersom \[\frac{1}{N} \# \left\{1\leq j \neq k \leq N \mid |a_j-a_k| \leq \frac{s}{N} \right\} \to 2s \quad \text{ når } N \to \infty .\] Denne egenskapen impliserer, i en sterk forstand, at følgen \(\{a_n\}\) er uniformt fordelt i intervallet \([0,1)\).

De siste årene har det vært stor aktivitet knyttet til følger med asymptotisk Poissonfordelte parkorrelasjoner. Det er blant annet publisert en rekke arbeider som ser på følger av typen \(\{a(n) \alpha\}_{n\geq 1}\), der \(\{a(n)\}\) er en heltallsfølge og \(\alpha\) er et irrasjonalt tall. For denne følgen er det en nær sammenheng mellom fordelingen av parkorrelasjoner og den additive energien til heltallsfølgen \(\{a(n)\}\). Additiv energi er et mål på additiv struktur, og defineres for en endelig følge \(A_N = \{a_i\}_{i=1}^N \subset \mathbb R\) som antallet løsninger av ligningen \[a_i + a_j = a_k + a_l \quad 1 \leq i,j,k,l \leq N .\] Fra denne definisjonen følger det at den additive energien \(E(A_N)\) nødvendigvis oppfyller \[N^2 \leq E(A_N) \leq N^3.\] Det viser seg at dersom den trunkerte følgen \(A_N = \{a(n)\}_{n=1}^N\) har additiv energi \(E(A_N) \leq N^{3-\varepsilon}\) for en positiv \(\varepsilon >0\), så har \(\{a(n)\alpha\}\) asymptotisk Poissonfordelte parkorrelasjoner for nesten alle valg av \(\alpha\) [1]. På den annen side har ikke følgen \(\{a(n) \alpha\}\) asymptotisk Poissonfordelte parkorrelasjoner for noen \(\alpha\) dersom den additive energien til \(A_N\) er nær maksimal (det vil si \(E(A_N)= \Omega(N^3)\)) [3]. For følger \(A_N\) hvor \[N^{3-\varepsilon} < E(A_N) < N^3 ,\] står en rekke spørsmål fortsatt ubesvart. Det er imidlertid nylig slått fast at størrelsen på den additive energien da ikke alene avgjør om \(\{a(n) \alpha\}\) har asymptotisk Poissonfordelte parkorrelasjoner [2].

En mulig prosjekt- eller masteroppgave vil være å sette seg inn i og presentere arbeidene [1] og [2] av Aistleitner et. al. om sammenhengen mellom Poissonfordelte parkorrelasjoner og additiv energi for følger av typen \(\{a(n) \alpha\}\). Oppgaven kan også dreies til å omhandle asymptotisk Poissonfordelte parkorrelasjoner mer generelt, og en kan se på andre uniformfordelte følger, som for eksempel \(\{n^d \alpha\}_{n\geq 1}\) for \(d\geq 2\).

Referanser

  • [1] C. Aistleitner, T. Lachmann og N. Technau, There is no Khintchine threshold for metric pair correlations, (2018) arXiv:1802.026559.
  • [2] C. Aistleitner, G. Larcher og M. Lewko, Additive energy and the Hausdorff dimension of the exceptional set in metric pair correlation problems, Israel J. Math. 222 (2017), 463–485.
  • [3] G. Larcher og W. Stockinger, Pair correlation of sequences \((\{a_n\alpha\})_{n\in \mathbb N}\) with maximal order of additive energy, (2018) arXiv:1802.02901.
2018-09-11, Sigrid Grepstad