Student Projects offered by Kristian Seip

Jeg veileder prosjekt innen analyse, spesielt analytisk tallteori og kompleks og harmonisk analyse; se nedenstående liste over aktuelle tema. Prosjekter kan tilpasses alle studenter fra alle masterprogram i matematiske fag. Avhengig av prosjektets innretning er TMA4170 Fourieranalyse, TMA 4175 Kompleks analyse, MA3150 Analytisk tallteori de mest relevante bakgrunnsfagene.

  • Studiet av Riemanns zeta-funksjon er motivert av målet om å forstå mest mulig om hvordan primtallene fordeler seg. Zeta-funksjonen har vært gjenstand for intens forskning gjennom mer enn 150 år, men en rekke uløste problemer gjenstår, som for eksempel den berømte Riemann-hypotesen. Tre mulige prosjekter innenfor dette området kan være Statistiske egenskaper ved Riemanns zeta-funksjon, Avstanden mellom etterfølgende primtall (prime gaps) og Konsekvenser av Riemann-hypotesen og relaterte formodninger. Disse oppgavene vil først og fremst bestå i å skaffe seg oversikt, men vil etterhvert også kunne dreies i retning av aktuelle forskningsproblemer.
  • Prosjektet Vekst av multiplikative funksjoner er sentrert rundt et aktuelt forskningsproblem. Det består av to deler. Den første delen dreier seg om å beskrive når den asymptotiske veksten til en multiplikativ funksjon er bestemt av verdiene den tar på kvadratfrie tall. Et eksempel på en funksjon med denne egenskapen er divisorfunksjonen \(d(n)\). Andre del av prosjektet går ut på å studere en formodning fra den nylige artikkelen Linear space properties of Hardy spaces of Dirichlet series om en bestemt multiplikativ funksjon som er definert via et ekstremalproblem for Hardy-rom på enhetsdisken. Problemet koker ned til å løse dette ekstremalproblemet eller tilnærme løsningen godt nok til at man får den forventede asymptotiske oppførselen av den tilsvarende multiplikative funksjonen.
  • Med utgangspunkt i boka "Zeros of Gaussian Analytic Functions and Determinantal Point Processes" av John Ben Hough, Manjunath Krishnapur, Yuval Peres, Bálint Virág skal det gis en oversikt over det moderne samspillet mellom punktprosesser og kompleks analyse - fysisk motivasjon, bakgrunn, matematiske teknikker, sentrale resultater og anvendelser. Dette oversiktsarbeidet kan følges opp med en masteroppgave som går i dybden innenfor et mer spesialisert tema.
  • Et annet mulig prosjekt går ut på å studere Poissons summasjonsformel, samt anvendelser og utvidelser av denne fundementale sammenhengen mellom en funksjon og dens Fourier-transform. Oppgaven kan dreies i ulike retninger. Et mulig prosjekt kan være å gjøre rede for noen viktige anvendelser, som f. eks. innen signalbehandling og tallteori. I den senere tid har Lev og Olevski og også Meyer koblet Poissons summasjonsformel til studiet av kvasikrystaller. Meyer har funnet en ny variant av summasjonsformelen, der det summeres over en annen følge av punkter enn en såkalt aritmetisk progresjon. Denne versjonen av Poissons formel har sine røtter i analytisk tallteori. Et prosjekt/hovedoppgave vil kunne gå ut på å sette seg inn og presentere arbeidene til Lev-Olevski og Meyer. Oppgaven kan også dreies til å omhandle kvasikrystaller mer generelt.

Kontaktinfo

2018-04-24, Kristian Seip