Prosjekt- og masteroppgaver for Marius Thaule

Jeg kan tilby veiledning innenfor algebraisk topologi og kategoriteori. Ta gjerne kontakt på e-post eller kom innom kontoret mitt dersom du har spørsmål.

Se under for to eksempler på hva jeg kan tilby av prosjektoppgaver. Alle oppgaver tilpasses til den enkelte student, så det som står under må bare anses som forslag.

Helt nederst på siden ser du en liste over bachelor- og masteroppgaver jeg har veiledet.

Triangulerte kategorier er viktige strukturer innen algebra (og algebraisk geometri) og topologi (stabil homotopiteori), men dukker også opp innen andre områder av matematikk og i teoretisk fysikk.

Triangulerte kategorier har sin opprinnelse i arbeider til Grothendieck og Verdier i algebraisk geometri, og Puppe i algebraisk topologi på starten av 1960-tallet. To kjente eksempler på triangulerte kategorier er: (1) den deriverte kategorien til en abelsk kategori og (2) den stabile homotopiteori kategorien. Disse to eksemplene er de prototypiske eksemplene på det Schwede kaller henholdsvis algebraiske og topologiske triangulerte kategorier (Algebraic versues topological triangulated categories).

En mulighet kan være å sette seg inn teorien om topologisk triangulerte kategorier. En annen mulighet kan være å se på teorien for høyere triangulerte kategorier med tanke på å generalisere ting vi vet fra (topologisk) triangulerte kategorier.

Diskret Morse-teori ble innført av Robin Forman i en artikkel publisert i 1998, og er en kombinatorisk analog av (glatt) Morse-teori.

For en fin (og kort) innføring i diskret Morse-teori se denne videoen av Nicholas Scoville.

Her er noen referanser:

• Robin Forman, Morse theory for cell complexes, Adv. Math. 134 (1998), no. 1, 90–145.
• Robin Forman, A user's guide to discrete Morse theory, Sém. Lothar. Combin. 48 (2002), Art. B48c, 35 pp.
• Dmitry N. Kozlov, Organized Collapse: An introduction to discrete Morse theory, Graduate Studies in Mathematics, 207. AMS, Providence, RI, 2020. xxiii+312 pp.
• Nicholas Schoville, Discrete Morse theory, Student Mathematical Library, 90. AMS, Providence, RI, 2019. xiv+273 pp.

Et mulig prosjekt kan være å sette seg inn i diskret Morse-teori og eventuelt se på noen anvendelser.

1. Tan Ling, 2-dimensional topological quantum field theories, NTNU, 2018.
2. Håkon Skjalg Selland Johnstuen, Topologiske kvantefeltteoriar og koplingar til kommutative frobeniusalgebraar, NTNU, 2020.
3. Daria Barjaktarevic, The Spanier-Whitehead category, NTNU, 2022. (Medveileder: Sebastian H. Martensen.)
4. Håvard Skjetne Lilleheie, Nerveteoremet i det endelege, kompakte og konvekse tilfellet i \(\mathbb{R}^n\), NTNU, 2022.
5. Nils Mork Stene, An introduction to discrete Morse theory, NTNU, 2022.

1. Magnus Hellstrøm-Finnsen, The homotopy theory of \((\infty,1)\)-categories, NTNU, 2014. (Hovedveileder: Petter A. Bergh.)
2. Eirik Andreas Mork, The fundamental group of \(\mathrm{SO}(3)\), NTNU, 2014. (Hovedveileder: Petter A. Bergh.)
3. Tor Erik Larsen, Topological data analysis on convolutional neural networks, NTNU, 2020.
4. Birk D. Ramberg, Topological data analysis and the activations in a convolutional neural network, NTNU, 2021. (Medveileder: Melvin Vaupel.)
5. Sturla Frydenlund, Using topological data analysis to understand convolutional neural networks, NTNU, 2022. (Medveileder: Melvin Vaupel.)
6. Bjørnar Gullikstad Hem, Discrete Morse theory and simplicial sets, NTNU, 2023. (Medveileder: Melvin Vaupel.) Utgitt som The discrete flow category: structure and computation, Journal of Applied and Computational Topology, 8:2401-2450, 2024.
7. Daria Barjaktarevic, Adams spectral sequences and Toda brackets, NTNU, 2024. (Medveileder: Sebastian H. Martensen.)