Bachelor-, prosjekt- og masteroppgaver tilbudt av Jørgen Endal

(English resume at the end.)

Jeg tilbyr bachelor- (MA2002), prosjekt- (TMA4500 and 4505) og masteroppgaver (MA3911/TMA4900) innen fagområdene partielle differensialligninger (PDEer) og numerikk. Mer spesifikt er jeg interessert i:

• Velstilthet (eksistens, entydighet og a priori estimater) og regularitet for PDEer.
• Approksimasjon av PDEer i form av endelig differansemetoder og konvergens av slike metoder.

Se gjerne min hjemmeside for mer informasjon. Ikke nøl med å sende meg en epost (jorgen.endal (at) ntnu.no), eller å stikke innom mitt kontor 1152 i Sentralbygg 2, 11. etasje.

Jeg studerer PDEer som er parabolske, hyperbolske, eller en kombinasjon av begge. Den første kategorien tar gjerne for seg både lokal og ikke-lokal diffusjon, mens den andre gjerne kommer i form av et konveksjon- eller transportledd. Ikke-lokal diffusjon betyr at diffusjonen påvirkes av langtrekkende informasjon. Mange av ligningene jeg studerer er ikke-lineære, og det er dette som fører til en kombinasjon av parabolske og hyperbolske ledd siden virkningen av leddene avhenger av verdien til løsningen selv eller til og med romvariabelen.

Jeg anvender relevant teori innenfor PDEer som ofte omfatter målteori, analyse, funksjonalanalyse, harmonisk analyse, sannsynlighetsteori og skaleringsmetoder.

Mange av ligningene kommer fra ekte anvendelser innenfor trafikkmodellering eller strømninger i porøst materiale, for å nevne noe. En matematisk studie vil gi et teoretisk fundament som hjelper til med forståelsen av de nevnte anvendelsene. Min forskning vil da være todelt: Studien av egenskapene til løsningene av PDEene, og den rigorøse numeriske approksimasjonen av disse løsningene.

Her er noen tema jeg kan tilby oppgaver innenfor:

• Sammenhengen mellom ulikheter innenfor funksjonalanalyse (Sobolev-ulikheten, Nash-ulikheten, etc.) og egenskaper til løsninger av PDEer.
• Kato-ulikheten, \(\text{sign}(\phi)\Delta\phi\leq \Delta|\phi|\), og dens betydning for entydighetsbevis.
• Fundamentalløsninger av ikke-lineære PDEer.
• Regulariseringseffekter til parabolske ligninger: Hvorfor er Laplace en viktig operator? Hva skiller den fra fraksjonell Laplace i denne sammenheng?
• Moser iterasjonen for parabolske ligninger: Løsninger av PDEer med integrable initialdata er begrensede.
• Numerisk approksimasjon for hyperbolsk-parabolske ligninger.

Kontakt meg gjerne for mer informasjon.

Det blir lagt opp til et møte minst en gang per uke gjennom hele semesteret. Hovedtyngden av arbeidet består av å sette seg inn i og forstå relevant faglitteratur som tidsskriftsartikler og bøker. Om man har tid og lyst, kan man generalisere/videreutvikle de nyeste teknikker, teori og metoder innenfor aktuell forskning. En godt gjennomført bacheloroppgave/prosjekt- eller masteroppgave vil kunne danne grunnlaget for en eventuelt masteroppgave/et eventuelt PhD-studium.

Nødvendig opplæring blir gitt, men det kan være greit å en bakgrunn innenfor analyse, PDEer og numerikk.

• Matematikk 4K / Kompleks funksjonsteori og differensiallikninger

• Analysens grunnlag (essensielt)
• Funksjonalanalyse
• Partielle differensialligninger

• Ikkelineære hyperbolske konserveringslover
• Ikkelineære partielle differensialligninger og Sobolevrom

• Numeriske metoder / Numerisk matematikk
• Numerisk løsning av differensialligninger med differansemetoder

• Numerisk løsning av partielle differensialligninger

I offer bachelor theses (MA2002), projects (TMA4500 and 4505), and master theses (MA3911/TMA4900) within the areas of partial differential equations (PDEs) and numerics. In particular, I am interested in:

• Well-posedness (existence, uniqueness, and a priori estimates) and regularity for PDEs.
• Approximation of PDEs by finite-difference methods and convergence of such methods.

You are welcome to visit my webpage for more information. Do not hesitate to write me an email (jorgen.endal (at) ntnu.no), or to stop by my office 1152 in Sentralbygg 2, 11th floor.