Espen R. Jakobsen prosjekt- og masteroppgaver.

Mine faglige interesser omfatter differensiallikninger, matematisk analyse, numeriske metoder og analyse, stokastiske prosesser, simulering, kontroll- og spillteori, matematisk finans og modellering. Spesielt ikke-lineære partielle differensiallikninger og ikke-lokale likninger, og nylig "Mean Field Games" og numerikk/simulering som utnytter dype nevrale nett. Dette er store og aktive fagfelt med mange viktige og velkjente anvendelser. De siste to er ferske og i vinden. Flinke og motiverte studenter kan fortsette på phd. Sjekk hjemmesiden min for mer info.

Jeg tilbyr oppgaver innen følgende områder:

  1. Ikke-lokale partielle differensiallikninger: Moderne modeller, utfordrende numerikk, ny matematikk.
  2. Mean field games: Spill-teori for et stort antall spillere - et helt nytt modelleringsparadigme.
  3. Stokastisk analyse: Prosesser, differensiallikninger, PDEer, SPDE metoden i romlig statistikk.
  4. Matematisk finans: Bedre enn Black-Scholes / Simulering / Maskinlæring.
  5. Numeriske metoder og nevrale nett: Høy dimensjonale problem / Hvorfor konvergerer slike metoder?
  6. Diverse oppgaver om partielle differensiallikninger.

Mer detaljer finnes under og jeg kan også tilby andre oppgaver. Oppgavene kan utformes med ulik vanskelighetsgrad og variende grad av teori og/eller numerikk/simulering. Typisk dreier det seg om å sette seg inn teknikker, teori, metoder og/eller modeller som anvendes i dag, oppsummere, videreutvikle/generalisere disse, implementere og teste (for numeriske metoder/simulering), og/eller anvende dem på nye problem. Avhengig av tid og ønsker, er det også mulig å jobbe med aktuelle forskningsproblemer. Mange av oppgavene kan danne et godt utgangspunkt for et senere PhD studium.

Hvis det er noe du har lyst til å spørre om eller diskutere nærmere, kom gjerne innom kontoret mitt i 11. etasje (1148) - eller send en epost til espen [dot] jakobsen [at] ntnu [dot] no.

1. Ikke-lokale partielle differensiallikninger: Moderne modeller, utfordrende numerikk, ny matematikk.

Click to display ⇲

Click to hide ⇱

Dette er et av mine hovedforskningsfelt. Ikke-lokale eller fraksjonelle likninger er likninger som inneholder integralledd eller fraksjonelle deriverte. Fraksjonelle deriverte er "deriverte" av fraksjonell orden, definert via Fouriertransformen, som røtter av differensial operatorer, som singulære integraler, eller via sannsynlighetsteori/stokastiske prosesser. Her er lenker til fraksjonell Laplace og andre fraksjonelle deriverte. Disse likningene som også kalles integro-partielle diffensiallikninger, anvendelser innen mange ulike områder (natur- og ingeniørvitenskap, finans, kontroll- og sannsynlighetsteori, geometri, …) og utgjør et meget populært forskningsfelt. Anvendelsene inkludere alt fra bruddmekanikk og sub/superdiffusjon i fysikken til via geostrofiske approksimasjoner i meteorologien til prising av opsjoner og derivater i finans med Levy modeller, se f.eks. The restaurant at the end of the random walk. Recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics, denne wikisiden og avsnitt 3. Matematisk finans under.

Eksempler på likninger/modeller

  1. Generalisering av modeller for flyt i porøse medier, fraksjonelle porøs medielikninger.
  2. Ulike (ikke-lineære) Fokker-Planck likninger.
  3. Fraksjonelle konserveringlover og konveksjons-diffusjonslikninger.
    Ulike fysiske (konveksjon/diffusjon) anvendelser, spennende matematiske fenomener.
  4. Ikke-lokale modeller i i kontroll- og spillteori, økonomi og finans, geometri.
    Såkalte fullt ikke-lineære likninger som Bellman- og Isaacslikningene.

Teoretiske problemer av interesse:

  • Vise eksistens og entydighet og egenskaper som f.eks. stabilitet, regularitet, kontinuerlig avhengighet av data, approksimasjonsmetoder, perturbasjon og asymptotiske grenser.
  • Klassiske metoder og løsningsbegreper som klassiske og svake løsninger og mer avanserte metoder og begreper som entropi- og viskositetsløsninger. Funksjonalanalyse, funksjonsrom, kompakthet, a priori estimater, sterk og svak konvergens, regularitet, Fourier analyse og/eller sannsynlighetsteori.

Numeriske metoder av interesse:

  • Differense-, endelig element, diskontinuerlig Galerkin og spesielt ulike typer spektralmetoder. Nevrale nett approksimasjoner.
  • Vise egenskaper ved metodene og evt. konvergens og feilestimater.
  • OBS: Likningene er spennende og utfordrende numerisk fordi:
    • de har ikke-lokale singulære (integral-)ledd,
    • de kan være ikke-lineære,
    • de kan være degenererte og ha irregulære løsninger (løsninger som har sjokk eller knekkpunkt), tilsynelatende meget gode numeriske metoder kan gi helt gale løsninger!

Gode støttekurs for dette temaet vil være:

2. Mean field games: Et nytt modelleringsparadigme.

Click to display ⇲

Click to hide ⇱

Mean Field Games (MFGs) er et nytt modelleringsparadigme som egner seg bra til å modellere konflikt og samspill i store grupper av relativt like rasjonelle beslutningstakere ("spillere"). Du kan f.eks. tenke på forbrukere i et marked eller en folkemengde som evakueres ut av en bygning. Potensialet for anvendelser er veldig stort, og særlig innenfor økonomi er det stor interesse for disse modellene. Det har vært en kraftig økende aktivitet inne området de siste årene, men fremdeles er det et ungt og umodent felt det det gjenstår store uløste problemer mhp. matematisk og numerisk metoder og teori. Jeg har tidligere jobbet med en PhD student, en postdoc, og flere masterstudenter på temaet. For tiden jobber jeg med en PhD student og samarbeidspartnere i flere land.

En optimal løsning av spillet vil være en såkalt Nash likevekt. Her vil verdifunksjonen til en generisk spiller og fordelingen av spillere oppfylle et koblet system av PDEer, en bakover Hamilton-Jacobi likning og en forover Fokker-Planck likning. Dette gjør at MFGs kan studeres og approksimeres vha. PDE-metoder.

Tema for master oppgaver (og forskning):

  • Ikke-lokale/fraksjonelle MFGs
  • Fullstendig ikke-lineære MFGs
  • Mer komplisert koplingsstruktur
  • Numeriske metoder for MFGs
    • FDMs, FEMs, FVMs
    • Semi-Lagrange metoder, spektralmetoder
    • Nevrale nett og optimering
  • Asymptotisk oppførsel av MFGs
  • Masterlikningen og konvergensproblemet for MFGs.
  • Konkrete anvendelser: Trafikk og økologi (DVM).

Oppgave: Sette seg inn og forklare hva MFG er for noe, studere modellering/anvendelser, gjøre matematisk analyse og/eller numerikk/numerisk analyse. Utvikle nye resultater innen temaene over. Her er det store muligheter til å gjøre nye ting og muligheter til å ta en PhD.

Det vil være muligheter til å bruke (eller ikke!) ulike matematiske fagfelt som PDEs, funksjonalanalyse, sannsynlighetsteori, spill/kontrollteori, stokastisk analyse, semigruppeteori, numeriske metoder og analyse.

Noe litteratur:

Et beslektet område som er mye enklere men også mye mer studert og forstått er Optimal kontroll av ordinære eller stokastiske differensiallikninger.
Oppgave: Sette opp og analysere problemet, verifikasjon og dynamisk programering, matematisk analyse og/eller numeriske beregninger. Ta kontakt for mer informsjon.

Gode støttekurs:

3. Stokastisk analyse: Prosesser, differensiallikninger, PDEer.

Click to display ⇲

Click to hide ⇱

I forbindelse med at jeg holder på å bygge opp en forskningsportefølge på stokastisk analyse (bl.a. med 2 aktive PhDer og en som fullførte i 2016) og at faget MA8109 Stokastiske prosesser og differensiallikninger blir undervist høsten 2023, tilbyr jeg oppgaver i analyse/numerikk av stokastiske prosesser, differensial likninger og PDEer.

Oppgaver

  • Levy prosesser (teori og/eller numerikk).
    (Poisson prosess, konstruksjon, generator, semigruppe, overgangsannsynlighetstettet, stopping/refleksjon, Markov, Martingal, Monte Carlo metoder, feilestimater)
  • Stokastiske differensiallikninger (SDEs) eller bakover SDEs (teori og/eller numerikk/simulering).
    (Brownsk bevegelse, Levy-prosesser, velstilthet, stopping/refleksjon, a priori estimater, kontinuerlig avhengighet av data; Monte Carlo, Path Integration og Maskin læringsmetoder; svak og sterk konvergens; feilestimater; Black-Scholes, Fokker-Planck)
  • Sammenheng mellom stokastiske prosesser og initial og randverdiproblemer for partielle differensiallikninger.
    (ulike randbetingelser og likninger - stopping/refleksjon av prosesser, generator, overgangsannsynlighetstettet, Markov, Monte Carlo metoder, feilestimater, asymptotiske resultater)
  • (Semi-)Lineære stokastiske PDEr (teori og/eller numerikk/simulering).
    (Sannsynlighetsteori, Brownsk bevegelse og Ito integraler på uendelig dimensjonale rom, semigruppeteori, milde og svake løsninger, velstilthet, stabilitet og regularitet, approksimasjon, numerikk, konvergens (sterk eller svak),SPDE metoden i romlig statistisk)
  • Stokastisk Porøs-medium likninger (teori og/eller numerikk/simulering)
    (Porøs medium likninger; sannsynlighetsteori, Brownsk bevegelse og Ito integraler på uendelig dimensjonale rom, svake løsninger, velstilthet, stabilitet og regularitet, approksimasjon, numerikk, konvergens (sterk eller svak))

Mer om oppgavene:

  • Levy prosesser er Markov prosesser som generaliserer Brownsk bevegelse/random walk, populær i finans og fysikk. Aktivt forskningsområde.
  • Stokastiske differensiallikninger er ordinære differensiallikninger med støy. Modeller med usikkerhet, populære i finans og ingeniørfag.
    Aktivt forskningsområde, særlig med tanke på numerikk/simulering.
  • Sammenhengen mellom stokastiske prosesser og partielle differensiallikninger er et klassisk og prestisjefylt problem, men gir stadig opphav til ny spennende forskning. Les f.eks. om Einsteins utledning av varmelikningen fra Brownsk bevegelse.
  • SPDE metoden i romlig statistikk: Se artikkel av Lindgren, Rue, Lindtröm.
  • Stokastisk Porøs medium: Bøker av Röckner (teori) og nye artikler av Banas og Gess (teoretisk numerikk).
  • Gi historisk oversikt, studere eksempler og helt nye forskningsresultater.
  • Teoretisk: Jobbe med en eller flere analytiske teknikker - stokastisk analyse (MA8109!), PDE (TMA4305), Fourier analyse (TMA4170), Funksjonalanalyse (TMA4230) og andre.
  • Numerikk/simulering: Studere numeriske approksimasjoner, ulike typer Monte Carlo, Path Integration, eller Machin Learning metoder [Noe analyse er nødvendig]

Eksempellitteratur:

  • P. Klöden and E. Platen. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Spinger-Verlag (1992).
  • T. Mikosch. Elementary Stochastic Calculus With Finance in View, World Scientific Publishing Company (1999).
  • D. Applebaum. Lévy Processes and Stochastic Calculus, Cambridge University Press (2009).
  • B. Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer (2010).
  • W. Schoutens. Levy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives, Wiley 2003.
  • L. Chen, E. R. Jakobsen, and A. Naess. On numerical density approximations of solutions of SDEs with unbounded coefficients. Artikkel i Adv. Comput. Math., 44(3), 2018.
  • E. Carlini and F. Silva. On the discretization of some nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equations and applications. Artikkel i SIAM J. Numer. Anal. 56(4), 2018.
  • Z. Chen, S. Gan, and X. Wang. Mean-square approximations of Lévy noise driven SDEs with super-linearly growing diffusion and jump coefficients. Artikkel-preprint.
  • F. Lindgren, H. Rue, and J. Lindström. (2011). "An Explicit Link between Gaussian Fields and Gaussian Markov Random Fields: The Stochastic Partial Differential Equation Approach". Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology. 73 (4): 423–498. doi:10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x
  • M. Hairer (2009). "An Introduction to Stochastic PDEs". arXiv:0907.4178
  • C. Prévôt and M. Röckner (2007). A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.

Gode støttekurs for dette temaet vil være:

4. Matematisk finans: Bedre enn Black-Scholes / Simulering / Maskinlæring

Click to display ⇲

Click to hide ⇱

Klassisk Black-Scholes teori for prising av opsjoner har først til en eksplosjon i handel med finansielle instrumenter rundt om i verden. Det handles i dag med et utall antall ulike typer opsjoner, dvs. det er mange ulike regler for hvilken utbetaling kjøper skal få når opsjonen utløper. I Norge er Europeiske og Amerikanske opsjoner på en aksje eller en børsindeks vanligst. Andre typer opsjoner er binære, barriære, bermuda, asiatiske, Look-back, etc.

Klassisk teori undervurderer grovt sjansen for store børsfall eller krakk. I mange situasjoner trenger man dermed mer realistiske og moderne modeller, enten stokastisk volatilitetsmodeller med Gaussisk støy eller ikke-Gaussiske modeller basert på Levy prosesser. I det siste tilfellet er "Black-Scholes" likningen en fraksjonell diffusjonslikning.

Simulering, numerikk, og maskinlæring for å løse disse modellene er av stor betydning og her fins det mange muligheter - se under.

Oppgaver

Mer om oppgavene:

  • Oppgave 1.
    • Forutsetter MA8109 Stokastiske prosesser. Mulig innhold: Europeiske/Amerikanske/Asiatiske opsjoner, stokastisk analyse, Ito, Brownsk bevegelse, stopping, finansielle argument, stokastisk volatilitet, diffusionslikning. Evt. look-back opsjoner og viskositetsløsninger.
  • Oppgave 2.
    • (A) Numerisk løsning med endelig element, endelig differanse, eller spektral metoder. (For FEM se f.eks. Y. Achdou, O. Pironneau Computational Methods for Option Pricing SIAM 2005).
    • (B) Numerisk løsning med stokastiske differensiallikninger og Monte Carlo metoder/stokastisk simulering (se f.eks. P. Klöden and E. Platen. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Spinger-Verlag (1992)). Forutsetter MA8109 Stokastiske prosesser. Mulig å gjøre ting i forskningsfront her…
    • (C) Path Integration - numerisk løsning av sannsynlighetstettheten til den stokastiske difflikningen. Se artikler av Chen-Jakobsen-Naess ("strong methods") og Carlini-Silva ("weak methods") under del 2 over. Mulig å gjøre ting i forskningsfront her også…
    • (D) Maskinlæring og kunstig intelligens for prising av opsjoner. (Dette er veldig nytt, deep learning er brukt av enkelte forskere …)
  • Oppgave 3 og 4 - som oppgave 1 og 2 - se også lenkene over.

Gode støttekurs for disse temaene:

5. Diverse oppgaver om partielle differensiallikninger

Click to display ⇲

Click to hide ⇱

  1. Viskositetsløsninger. Teorien for viskositetsløsninger innfører et helt nytt og overraskende løsningsbegrep, ulikt tidligere løsningsbegreper som klassiske, svake, og distribusjonsløsninger. Teorien kan anvendes på nye typer likninger, fult ikke-lineære likninger og veldig degenererte likninger, og representerer enten eneste metode for å vise mange viktige resultater eller en mye enklere metode enn alternativene.
    • Teoretiske oppgaver: Sette seg inn i teorien, anvende den til å vise egenskaper ved utvalgte likninger. Prøve å utvikle nye resultater for svakt degenerete likninger (sammenlikningsprinsipper etc.)
    • Numeriske oppgaver: Løse slike likninger numerisk. Studere egenskapene til løsningsmetodene, utvikle nye metoder.
2023-11-21, Espen Robstad Jakobsen