MA8202 Kommutativ algebra (vår 2017)

Foreleser

Petter Andreas Bergh, rom 840, Sentralbygg II, bergh [at] math [dot] ntnu [dot] no

Forelesninger

Mandag 12:15 - 14:00 rom 656

Torsdag 12:15 - 14:00 rom 656

Lærebok

M.F. Atiyah & I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra.

Vi kommer til å ta for oss sånn røffly hele boken, inkludert mange av oppgavene i den.

Oppgaver

Kapittel 1	\( \ast \) 1.5, 1.8, 1.9, 1.10, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22, 1.26, 1.27, 1.28. \( \ast \) La \( k \) være en kropp. Finn nullradikalet og radikalet til \( k[x] \) og \( k[[x]] \). \( \ast \) Se litt på artikkelen Prime ideal structure in commutative rings av Mel Hochster.
Kapittel 2	\( \ast \) 2.2, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8, 2.9, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.20. \( \ast \) La \( \mathfrak{a} \) og \( \mathfrak{b} \) være idealer i en ring \( A \). Vis at \( A/ \mathfrak{a} \otimes_A A/ \mathfrak{b} \simeq A/ ( \mathfrak{a} + \mathfrak{b} ) \). \( \ast \) Vis at \( \mathbb{Z} / (m) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} / (n) \simeq \mathbb{Z} / (d) \), hvor \( d= \gcd (m,n) \).
Kapittel 3	\( \ast \) 3.1, 3.5, 3.9, 3.12, 3.13, 3.19, 3.23, 3.24. \( \ast \) La \( k \) være en kropp. Vis at ringen \( k[x,x^{-1}] \) av Laurent-polynomer er en lokalisering av polynomringen \( k[x] \). \( \ast \) For en kropp \( k \), bestem \( {\rm Spec} \hspace{0.5mm} k[x] \) og \( {\rm Spec} \hspace{0.5mm} k[x,x^{-1}] \). \( \ast \) La \( A \) være en Noethersk ring, \( S \subseteq A \) en multiplikativ mengde og \( M,N \) to endeliggenererte \( A \)-moduler. Sett deg inn i beviset (bruk for eksempel Rotmans bok i homologisk algebra) for at \( S^{-1} {\rm Hom}_A(M,N) \simeq {\rm Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N) \). \( \ast \) Vis at følgende er ekvivalent for en endeliggenerert modul \( M \) over en Noethersk ring \( A \): \( \hspace{7mm} \) (1) \( M \) er en projektiv \( A \)-modul, \( \hspace{7mm} \) (2) \( M_{\mathfrak{p}} \) er en fri \( A_{\mathfrak{p}} \)-modul for alle \( \mathfrak{p} \in {\rm Spec} \hspace{0.5mm} A \), \( \hspace{7mm} \) (3) \( M_{\mathfrak{m}} \) er en fri \( A_{\mathfrak{m}} \)-modul for alle \( \mathfrak{m} \in {\rm Max} \hspace{0.5mm} A \).
Kapittel 4	\( \ast \) 4.1, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.16, 4.20, 4.21, 4.22, 4.23. \( \ast \) La \( \mathfrak{a} \) være et ideal i en Noethersk ring \( A \), og anta \( xy \in \mathfrak{a} \). Kjeden \( ( \mathfrak{a} \colon x ) \subseteq ( \mathfrak{a} \colon x^2 ) \subseteq ( \mathfrak{a} \colon x^3 ) \subseteq \cdots \) må stabilisere seg, så det finnes en \( n \) med \( ( \mathfrak{a} \colon x^n ) = ( \mathfrak{a} \colon x^{n+1} ) \). Vis at da er \( \mathfrak{a} = \left ( (x^n)+ \mathfrak{a} \right ) \cap \left ( (y)+ \mathfrak{a} \right ). \) \( \ast \) Et ideal \( \mathfrak{a} \subseteq A \) kalles irredusibelt dersom \( \mathfrak{a} = \mathfrak{a}_1 \cap \mathfrak{a}_2 \Rightarrow \mathfrak{a} = \mathfrak{a}_1 \lor \mathfrak{a} = \mathfrak{a}_2 \). Vis at ethvert irredusibelt ekte ideal i en Noethersk ring er primært. \( \ast \) Vis at ethvert ideal i en Noethersk ring kan skrives som et endelig snitt av irredisible idealer. Følgelig har ethvert ekte ideal i en Noethersk ring en primær dekomponering.
Kapittel 5	\( \ast \) 5.3, 5.4, 5.5, 5.12, 5.14, 5.16, 5.17, 5.23, 5.26. \( \ast \) La \( K \) være en algebraisk tallkropp med \( \dim_{\mathbb{Q}} K =n \), og la \( \mathcal{O}_K \) være ringen av heltall i \( K \). Sett deg inn i beviset for at \( \mathcal{O}_K \) er en fri \( \mathbb{Z} \)-modul av rang \( n \), og følgelig Noethersk som ring. Sidene 29–36 i onlineboken Algebraic number theory av J.S. Milne er en grei kilde.
Kapittel 6/7/8	\( \ast \) 6.1, 6.2, 6.4, 6.5, 6.8, 6.9, 6.10. \( \ast \) 7.2, 7.5, 7.7, 7.8, 7.12, 7.14, 7.15, 7.16, 7.18 (de to siste punktene samt konklusjonen), 7.26. \( \ast \) 8.2.