Øvinger
Det er obligatoriske øvinger i emnet, med én øvingsinnlevering i uken (12 øvinger totalt). Man må ha 8 godkjente øvinger for å få tilgang til eksamen. Øvingene leveres digitalt på Øvsys, og fristen for innlevering er søndag kl 23:59. Hver øving skal leveres som én samlet PDF-fil, les mer om hvordan du kan gjøre dette nederst på siden. Første øving skal leveres søndag 3. september (uke 35), og den uken blir også den første uken med øvingstimer. Dersom du ønsker grundig tilbakemelding fra studassen som retter øvingen din, må du skrive det i en kommentar når du leverer øvingen på blackboard.
Du kan sjekke hvilken øvingsgruppe du tilhører på blackboard. Dersom du ikke er lagt inn i en øvingsgruppe kan du ta kontakt med Erling.
For å få en øving godkjent må man ha løst minst 40% av øvingen riktig (tilsvarende kravet for å få bestått på eksamen).
Øving 1
(frist søndag 3.september)
Alle oppgåvene er henta frå "Complex function theory"
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 1.2 | 3 | |
| 1.4 | 2,3 | |
| 1.5 | 2 | |
| 1.8 | 2,3 | I 8.3 underforstås at vi har innført en metrikk \(d(\cdot,\cdot)\) på \( \mathbb C \times \mathbb C \). Du kan f. eks. bruke \(d((z_1,z_2),(w_1,w_2))=\sqrt{|z_1-w_1|^2+|z_2-w_2|^2} \). |
| 1.10 | 3 | |
| 1.11 | 3,4 |
Øving 2
(frist søndag 9.september)
Seksjonstala refererer til "Complex function theory".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| Eksamen H05 | 1 | |
| 2.6 | 1,2,3 | |
| 2.8 | 1,2 | |
| 2.16 | 2,3,4 | 16.2: Denne kan løysast med kjerneregelen, men det er enklare å la \(v\) vera ein harmonisk konjugert av \(u\), og så nytta resultatet frå oppgåve 6.3. 16.4: Prøv å redusere denne oppgåva til å løyse den separable differensiallikninga \(ty'=-y\). |
Øving 3
(frist søndag 17.september)
Seksjonstala refererer til "Complex function theory".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 4.1 | 1 | |
| 4.3 | 1 | |
| 4.5 | 1 | |
| 4.8 | 1 | |
| 4.9 | 2 | |
| 4.10 | 1 | |
| 4.15 | 1 | Hint: Løys likninga \(\tan(z)=w\) med omsyn på \(w\). Dette går ikkje i reell analyse, men det går heilt fint når vi har den komplekse logaritmen. |
| 4.16 | 1 | |
| Eksamen H22 | 3 | |
| Eksamen K23 | 2 |
Øving 4
(frist sundag 24.september)
Alle oppgåvene er henta frå "Complex function theory"
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 5.6 | 1 | |
| 5.7 | 1,2 | |
| 5.10 | 1 | |
| 5.12 | 1 | |
| 5.14 | 1e, 2 | Hint på 2: Nytt Dirichlets/Abels konvergenstest. Sjå side 57 i Krantz. Testen fungerer like godt når \(a_n\) er komplekse tal. |
| 5.16 | 3 | |
| 5.17 | 1 | |
| 5.18 | 1 |
Øving 5
(frist sundag 1.oktober)
Seksjonstala refererer til "Complex function theory".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| Eksamen H06 | 1 | |
| 6.7 | 2 | Hint: Hugs binomialteoremet \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\) |
| 6.8 | 1,2 | |
| 7.4 | 1 | Hint: Integrala langs dei vertikale sidene skal gå mot \(0\). Nytt eit ML-estimat i staden for å rekne dei ut. |
| 7.6 | 1 | |
| 7.8 | 1,2 |
Øving 6
(frist sundag 8.oktober)
Seksjonstala refererer til "Complex function theory".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 7.9 | 1 | |
| 7.11 | 1,2,3 | Hint på 11.3: Argumenter med motseiing. |
| 7.13 | 1 | |
| 7.14 | 2 | |
| 7.16 | 1 | |
| Eksamen H22 | 6 | Hint: Ikkje nytt Liouville her. Sjå heller på beviset for Liouville og prøv å modifisere framgangsmåten. |
Øving 7
(frist sundag 15.oktober)
Seksjonstala refererer til "Complex function theory".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 7.17 | 1 | |
| 7.18 | 1,2 | Hint på 18.2: Korleis kan du nytte resultatet frå oppgåve 7.11.3 her? |
| 8.1 | 1 | |
| 8.7 | 1,2 | Hint på 7.2a): Frå formelen for endeleg geometrisk rekkje har vi \(1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{1-z^5}{1-z}\). |
| Eksamen K23 | 5 |
Øving 8
(frist sundag 22.oktober)
Seksjonstala refererer til "Complex function theory".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 8.4 | 1 | |
| 8.7 | 4 | |
| 8.12 | 1 | |
| 10.10 | 1 | |
| Eksamen H22 | 2 | |
| Eksamen K23 | 3 |
Øving 9
(frist sundag 29.oktober)
Seksjonstala refererer til "Complex function theory".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 10.10 | 2,3,5 | Hint på 10.5: \(x^a\) er definert ved hjelp av logaritmen. Velg eit greinkutt og integrer langs ei nøkkelhullforma kurve. |
| 10.11 | 1 | |
| 10.12 | 3 | |
| Eksamen H22 | 5 | |
| Eksamen H06 | 2 |
Øving 10
(frist sundag 5. november)
Oppgåvene denne veka er frå "Real analysis and Foundations".
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 11.2 | 4b, 8, 9 | Oppgåver |
| 11.3 | 2, 5, 7, 8, 9 | Hint på 7: Vis at antakinga gjev at \(\hat{f}\) kan utvidas til ein heil funksjon. Nytt så identitetsprinsippet(sjå s.89 i Sarason). |
| Nytt residyteoremet til å finna Fourier-transformen til \(f(x)=\frac{1}{1+x^4}\). | Hint: Nytt same framgangsmåte som i førelesing. Polane har vi allereie funne i øving 8. |
Øving 11
(frist sundag 12. november)
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| Eksamen H05 | 3 | |
| Eksamen H22 | 4 | |
| 11.4 | 2, 3b | Oppgåver 2: Vi antar at \(F\) og \(G\) er to gonger deriverbare. |
Øving 12
(frist sundag 19. november)
| Seksjon | Oppgåver | Kommentar |
|---|---|---|
| 8.4 | 1 | Oppgåver Hint: Nytt Weierstrass-teoremet til å tilnærme \(f\) med polynom, og sjå på \(\int_a^b |f(x)-p_j(x)|^2\;dx.\) |
| 11.3 | 11 | OBS:Det er feil i oppgåva. Det skal vera \(2\pi \sum_{n=-\infty}^\infty f(2\pi n)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n)\) Hint: Anta at \(f\) er kontinuerleg og \(0\) utanfor eit intervall \([a,b]\) og sjå på funksjonen \(Pf(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(x+2\pi n)\). |
| 11.5 | 3 | At endane er isolerte betyr at i staden for \(u(0,t)\) og \(u(\pi,t)\) som randverdiar nytter vi \(u_x(0,t)=0=u_x(\pi,t)\). Du kan også trygt anta at \(f\) kan skrivast som ei Fourier-cosinusrekkje. |
| Eksamen K08 | 3 |
Scanning av øvinger
Øvsys er et digitalt øvingssystem. Det betyr at øvingen må scannes slik at alt du har skrevet er lett å lese, og at det blir samlet i én PDF-fil. Vi anbefaler på det sterkeste at du regner øvingene med blyant/penn og papir. Dette er tidsbesparende og gir best øvelse til eksamen. Her er ulike fremgangsmåter for hvordan du kan levere en håndskrevet øving som PDF-fil.
Bruk av scanner/kopimaskin:
- Gå til en scanner/printer, scann hele øvingen og få tilsendt PDF på epost
- (OBS: Scan alle ark til ett dokument, ikke ett dokument per ark.)
- Lagre vedlegg fra epost og lever i Øvsys
iPhone (gratis):
- Last ned app for «scanning» (f.eks Genius scan, Tiny Scanner)
- Bruk appen til å ta en bildeserie som du eksporterer som PDF til epost
- Lagre vedlegget fra eposten og lever i Øvsys
iPhone (betalingsløsning):
- Last ned pro-versjon av app for «scanning» (f.eks Genius scan, Tiny Scanner)
- Bruk appen til å ta en bildeserie som du eksporterer til iCloud Drive
- Logg inn i Øvsys via Safari på iPhone og last opp PDF-filen fra Drive
Android:
- Last ned app for «scanning» (f.eks CamScanner, Tiny Scanner)
- Bruk appen til å ta en bildeserie som du eksporter til Drive eller annen foretrukket mappe
- Last opp PDF-filen fra den valgte mappen i Øvsys
Pdf-merger kan også brukes for å samle flere pdf-er til en fil. Dersom du ønsker å føre inn øvingene på datamaskin og ikke for hånd, bør du bruke LaTeX. En introduksjon til LaTeX kan også være nyttig. Vi anbefaler ikke å bruke Word eller andre tekstbehandlingsprogrammer til å skrive matematikk.