Forelesningslogg
Her finner du en en liste over de viktigste temaene som dekkes i de respektive forelesningene.
| Dato | Tema | Stikkord | Opptak |
|---|---|---|---|
| 22. august | Komplekse tall (Sarason I.1–I.8) | - Algebraisk struktur - Geometrisk representasjon og fortolkning - \(\mathbb C\) som metrisk rom | |
| 24. august | Komplekse tall (Sarason I.8–I.14); Kompleks derivasjon (Sarason II.1–II.4) | - Kontinuerlige funksjoner på \(\mathbb C\) - Komplekse tall på polar form - \(n\)te røtter - Stereografisk projeksjon og Riemann-sfæren - Kompleks derivert - Kompleks derivert og lineær approksimasjon - Derivasjonsregler for kompleks derivert - Derivasjon av polynom | Del 1 Del 2 |
| 31. august | Kompleks derivasjon og Cauchy–Riemann-ligningene (Sarason II.1–II.8) | - Påminnelse fra sist om kompleks derivasjon - Sammenligning mellom deriverbarhet i reell og kompleks forstand - Cauchy–Riemann-ligningene - Holomorfe (\(=\) analytiske) funksjoner | Del 1 Del 2 |
| 1. september | Holomorfe funksjoner som avbildninger; harmoniske funksjoner og harmonisk konjugerte (Sarason II.10–II.12, II.14–II.16) | - Holomorfe funksjoner \(f\) er konforme når \(f'(z_0)\neq 0 \) - Kurver og vinkler mellom kurver (konformalitet) - Harmoniske funksjoner - Harmonisk konjugerte | Del 1 Del 2 |
| 5. september | Eksponentialfunksjonen, trigonometriske funksjoner, logaritmen (Sarason IV.1–9) | - Definisjon av eksponentialfunksjonen, trigonometriske funksjoner, logaritmen - Grunnleggende egenskaper (analytisitet, \(e^{z+w}=e^ze^w\), periodisitet; \(e^z\) som avbildning) - Grener av logaritmen og argumentet | Del 1 Del 2 |
| 7. september | Logaritmen som holomorf funksjon og noen assosierte funksjoner (Sarason IV. 10–16) | - Logaritmen som invers av eksponentialfunksjonen - Grener av logaritmen og argumentet i sammenhengende mengder som ikke inneholder 0 - Cauchy–Riemann-ligningene anvendt på logaritmen - Den inverse til en univalent funksjon er holomorf - Funksjoner assosiert med logaritmen: \(\log f(z)\), potenser og inverse trigonometriske funksjoner - Ideen om en Riemann-flate | Del 1 Del 2 |
| 12. september | Potensrekker (Sarason V.1–14) | - Konvergens, absolutt konvergens, lokal uniform konvergens - Geometrisk rekke - Konvergensområde og konvergensradius; Cauchy–Hadamard-formelen - Forholdstest | Del 1 Del 2 |
| 15. september | Derivasjon og Cauchy-produkt av potensrekker; kompleks integrasjon (Sarason V.15–17, VI.1–5) | - Derivasjon av potensrekker - Potensrekker (Taylor-rekker) for \(e^z\) og \(\operatorname{Log}(1-z)\) - Cauchy-produkt av potensrekker - Definisjon av \(\int_\gamma f(z) dz \) | Del 1 Del 2 |
| 19. september | Kompleks integrasjon (Sarason VI.6–10, 12) | - Kjerneregel for \(f(\gamma(t))\) - Analysens fundamentalteorem anvendt på \(\int_\gamma f'(z)dz\) - Et viktig eksempel: \(1/(z-z_0)\) integrert om en sirkel sentrert i \(z_0\) - Reparametrisering og endring av integrasjonsretning - \(ML\)-estimat - Et annet viktig eksempel: \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\cos 2bt dt=\sqrt{\pi} e^{-b^2}\) | Del 1 Del 2 |
| 22. september | Cauchys integralteorem (Sarason VII.1–5) | - Cauchys teorem for en trekant (Goursats lemma) - Eksistens av primitiv i konvekse områder - Cauchys formel for en sirkel | Del 1 Del 2 |
| 26. september | Cauchys integralformel og konsekvenser av den (Sarason VII.5, 7–12) | - Cauchys formel for en sirkel (bevis) - Cauchy-integral - Potensrekkerepresentasjon av holomorfe funksjoner - Moreras teorem - Liouvilles teorem - Algebraens fundamentalteorem (bevis 1 ved Liouville) | Del 1 Del 2 |
| 29. september | Flere konsekvenser av Cauchys formel (Sarason VII.6, 13–16) | - Nullpunkter til holomorfe funksjoner - Identitetsteoremet for holomorfe funksjoner - Weierstrass' konvergensteorem - Middelverdiegenskapen til holomorfe funksjoner - Maksimum modulus-prinsippet | Del 1 Del 2 |
| 3. oktober | Noen eksempler og enda en konsekvens av Cauchys teorem (Sarason VII.16–22 | - Eksempel på bruk av Weierstrass: Riemanns zeta-funksjon - Algebraens fundamentalteorem (bevis 2 ved maksimum modulus-prinsipp) - Eksempel på bruk av maksimum modulus-prinsipp: Schwarz' lemma - Eksistens av harmonisk konjugerte - Konsekvenser av eksistens av harmonisk konjugert (uendelig deriverbarhet, middelverdiegenskap, identitetsteorem, maksimumsprinsipp) | Del 1 Del 2 |
| 5. oktober (NB! Torsdagsforelesning 16:15–18) | Laurent-rekker og isolerte singularitetet (Sarason VIII.1–7) | - Kort oppsummering av Kap. VII i Sarason - Definisjon av Laurent-rekke - Eksistens av Laurent-rekke i et ringområde (annulus) - Klassifisering av isolerte singulariteter (hevbare singulariteter, poler, essensielle singulariteter) | Del 1 Del 2 |
| 10. oktober | Isolerte singulariteter og residyer (Sarason VIII.8–12) | - Klassifisering av isolerte singulariteter ved lokal oppførsel til funksjonen - Sammenheng mellom poler og nullpunkter - Casorati–Weierstrass-teoremet for essensielle singulariteter - Residyer | Del 1 Del 2 |
| 13. oktober | Residy-teoremet (Sarason X.8–10) | - Cauchys teorem og Cauchys formel for enkle lukkede kurver (se her for et elegant bevis) - Residy-teoremet - Eksempel: Integralet \(\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos ax}{1+x^2}dx\) | Del 1 Del 2 |
| 17. oktober | Eksempler på bruk av kompleks integrasjon/residy-teoremet (Sarason X.10) | - Det bestemte integralet \(\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2-\cos\theta} \) (bestemte integral med trigonometriske funksjoner) - Det uegentlige integralet \( \int_{-\infty}^\infty \frac{e^x}{e^{ax}+1}dx\) når \(a>1\) - Det uegentlige integralet \(\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx\) (Jordans lemma) - Det uegentlige integralet \(\int_0^{\infty} \frac{dx}{x^a(x+1)} \) når \(0<a<1\) (Integrasjon rundt grenkutt) | Del 1 Del 2 |
| 20. oktober | Argumentprinsippet (Sarason X.11–12) | - Argumentprinsippet (to ulike måter å betrakte integralet \(\int_C \frac{f'(z)}{f(z)} dz \) på) - Rouché's teorem | Del 1 Del 2 |
| 24. oktober | Fourier-rekker (Krantz 11.1-2) | - Trigonometriske polynom - Fourier-rekker - Ortogonalitet og Bessels ulikhet - Chernoffs bevis for konvergens av Fourier-rekker (NB! Krantz ser ut til å bevise mer i Thm. 11.8, men hans forsøksvise bevis for uniform konvergens er ikke korrekt. Problemet er den siste setningen der det sies at "the relevant estimates are independent of \(x\)". Dette har vi ikke grunnlag for å si når vi anvender Corollary 11.3 på funksjonene \(h_x(t)\) og \(k_x(t)\). Vi trenger å vite at Fourier-koeffisientene til disse funksjonene går uniformt mot 0.) | Del 1 Del 2 |
| 27. oktober | Dirichlet- og Fejér-kjernene (Krantz 11.2) | - Fourier-rekken i et punkt der funksjonen gjør et hopp - Jo glattere \(f\) er, jo raskere avtar \(\widehat{f}(n)\) (kvantitativt: \(\widehat{f'}(n)=in\widehat{f}(n)\) ) - Dirichlet-kjernen - Fejér-kjernen og approksimasjon av kontinuerlige funksjoner | Del 1 Del 2 |
| 31. oktober | Fourier-transform (Krantz 11.3) | - Fourier-transformen - Fourier-transform og derivasjon (\(\widehat{f'}(\xi)=i\xi\widehat{f}(\xi) \)) - Fourier-transform av \(e^{-ax^2}\) - Fourier-inversjon (via approksimasjon ved hjelp av gaussiske funksjoner) | Del 1 Del 2 |
| 3. november | Fourier-teknikker for partielle differensialligninger med utgangspunkt i varmeligningen (Krantz 11.5) | - Fourier-sinus- og cosinusrekker - Utledning av varmeligningen \(u_t=\eta^2 u_{xx} \) - Fra separasjon av variablene til Fourier-rekker (Fouriers idé) - Generelt om Fourier-teknikker for partielle differensialligninger (Fourier-transformér ligning/separasjon av variable) - Varmekjernen på \(\mathbb R\) | Del 1 Del 2 |
| 7. november | Dirichlets problem for enhetsdisken; tilnærming av identiteten (Krantz 11.4.2, 8.4, Øving 7 oppgave 7.18.1, eget notat) | - Dirichlets problem for enhetsdisken (løs Laplace-ligningen med gitte randverdier) - Poisson-kjernen - Generelt om teknikken med tilnærming av identiteten | Del 1 Del 2 |
| 10. november | Bølgeligningen (Krantz 11.4.3–11.4.6) | - Utledning av bølgeligningen i én romlig dimensjon - d'Alemberts løsning av bølgeligningen - Løsning av bølgeligningen ved hjelp av separasjon av variablene og Fourier-rekker | Del 1 Del 2 |
| 14. november | Repetisjonsforelesning I | - Hva forventes til eksamen (referanse til læringsmål)? - Hvordan bør man forberede seg til eksamen? - Eksempler fra Eksamen H22 og K23 | Del 1 Del 2 |
| 17. november | Repetisjonsforelesning II | - Mer om viktige begreper, teknikker og sammenhenger i kompleks analyse - Eksempler fra Eksamen H22 og K23 | Del 1 Del 2 |
| 21. november | Repetisjon/veiledning | - Eksempler fra Eksamen H22 og K23 - Regning av prøveeksamen H22 | Del 1 Del 2 |
| 24. november | Repetisjon/veiledning | - Veiledning - Regning av prøveeksamen H22 - På oppfordring: Regner også Oppgave 4 K23 | Opptak |