Forelesninger

Video Tema Stikkord
Mandag 17.08 del 1
Mandag 17.08 del 2
Introduksjon og matematisk induksjon (1.1 i Burton) - Om å studere matematikk
- Hva er elementær tallteori?
- Velordningsprinsippet og matematisk induksjon
- Eksempler på induksjonsbevis
Onsdag 19.08 del 1
Onsdag 19.08 del 2
(Problemet med notatene i del 2 er fikset)
Binomialteoremet (1.2 i Burton) og divisjonsalgoritmen (2.2 i Burton) - Binomialkoeffisienter
- Pascals regel (trekant)
- Binomialteoremet
- Divisjonsalgoritmen
- Eksempler på bruk av divisjonsalgoritmen
Mandag 24.08 del 1
Mandag 24.08 del 2
Største felles divisor (2.3 i Burton) - Delelighet og notasjonen \( a|b\)
- Største felles divisor (gcd)
- \( \gcd(a,b)\) representert som \(ax+by \)
- Relativt primiske tall
- Euklids lemma
Onsdag 26.08 del 1
Onsdag 26.08 del 2
Euklids algoritme (2.4 i Burton) - Algoritme for beregning av \( \gcd(a,b) \)
- Algoritme for å finne \( \gcd(a,b) \) uttrykt som \( ax+by\)
- Minste felles multiplum \( \operatorname{lcm}(a,b) \) av \(a\) og \( b \)
- Sammenheng mellom \( \gcd(a,b) \) og \( \operatorname{lcm}(a,b) \)
Mandag 31.08 del 1
Mandag 31.08 del 2
Den diofantiske ligningen \(ax+by=c\) og aritmetikkens fundamentalteorem (2.5 og 3.1 i Burton) - Diofantisk ligning
- Euklids algoritme og ligningen \(ax+by=c\)
- primtall
- primtallsfaktorisering
- aritmetikkens fundamentalteorem
Onsdag 02.09 del 1
Onsdag 0209 del 2
Aritmetikkens fundamentalteorem og Erathostenes' såld (3.1 og 3.2 i Burton) - Positive heltall på kanonisk form
- \(\gcd(a,b)\) på kanonisk form
- \( \sqrt{2} \) er irrasjonalt
- Erathostenes' såld
- Det fins uendelige mange primtall (Euklid og Euler)
Mandag 07.09 del 1
Mandag 07.09 del 2
Noen klassiske problem om primtall (3.3 i Burton) og kongruens (4.2 i Burton) - Primtallstvillinger og primtallsgap
- Goldbachs formodning
- Dirichlets teorem for primtall i aritmetiske progresjoner (uten bevis!)
- Kongruens og notasjonen \(a\equiv b \ (\operatorname{mod} n) \)
- Regneregler for kongruens
Onsdag 09.09 del 1
Onsdag 09.09 del 2
Mer om kongruensregning (4.3 i Burton) - Posisjonssystem (desimaltall og binære tall)
- Binær eksponentialalgoritme
- Kongruensregning med polynom med heltallskoeffisienter
- Tverrsumkriterier for delelighet med 3, 9, 11
Mandag 14.09 del 1
Mandag 14.09 del 2
Eksempelet som ikke ble fullført på slutten av del 2 vil bli gjennomgått i forelesningen på onsdag.
Lineære kongruenser og det kinesiske restteorem (4.4 i Burton) - Forkorting av kongruenser
- Fullstendig mengde av rester modulo \(n\)
- Løsning av lineær kongruenser
- Det kinesiske restteorem
- Løsning av system av lineære kongruenser
Onsdag 16.09 del 1
Onsdag 16.09 del 2
Mer om lineære kongruenser og det kinesiske restteorem (4.4 i Burton) - Bevis for det kinesiske restteorem
- Eksempler på bruk av det kinesiske restteorem
Mandag 21.09 del 1
Mandag 21.09 del 2
Fermats lille teorem og pseudoprimtall (5.2 i Burton) - Fermats lille teorem
- Pseudoprimtall
- Carmichael-tall (absolutte pseudoprimtall)
- Kvadratfrie tall
Onsdag 23.09 del 1
Onsdag 23.09 del 2
Wilsons teorem (5.3 i Burton) - Litt mer om Fermats lille teorem og Carmichael-tall
- Wilsons teorem
- Karakterisering av primtallene ved Wilsons teorem
- Den kvadratiske kongruensen \(x^2+1\equiv 0 (\operatorname{mod} p)\)
Mandag 28.09 del 1
Mandag 28.09 del 2
Divisorfunksjoner (6.1 i Burton) - Aritmetiske funksjoner
- Divisorfunksjonene \(\tau\) og \(\sigma\)
- Multiplikative funksjoner
Onsdag 30.09 del 1
Onsdag 30.09 del 2
Möbius-inversjon (6.2 i Burton) - Möbius-funksjonen
- Möbius-inversjon
- Möbius-funksjonens spesielle rolle i klassen av multiplikative funksjoner
Mandag 05.10 del 1
Mandag 05.10 del 2
Repetisjon gjennom oppgaveregning Vi ser på følgende eksamensoppgaver:
- H2003: 1, 5
- V2004: 4
- V2010: 1, 8
- H2012: 2
- K2019: 8
Onsdag 07.10. Midtsemesterprøve – ingen forelesning
Mandag 12.10 del 1
Mandag 12.10 del 2
Eulers Phi-funksjon (7.2 og 7.4 i Burton) - Eulers Phi-funksjon \(\phi(n)\)
- Eulers Phi-funksjon er multiplikativ
- Gauss' teorem \(n=\sum_{d|n} \phi(d)\)
Onsdag 14.10 del 1
Onsdag 14.10 del 2
(NB! Fra og med denne forelesningen er alle onsdagsforelesninger fysiske. De foregår i Kjel 2 og vil bli filmet.)
Eulers teorem (7.3 i Burton) - Eulers teorem (generalisering av Fermats lille teorem)
- Eksempler og anvendelser
Mandag 19.10 del 1
Mandag 19.10 del 2
RSA-kryptografi - Eulers teorem tilpasset RSA-systemet
- Offentlig krypteringsnøkkel
- Hemmelig dekrypteringsnøkkel
Onsdag 21.10 del 1 NB! Ved en beklagelig glipp regnes det her feil i H2012 4c). Her er det riktige å regne modulo 77 når vi dekrypterer meldingen.
Onsdag 21.10 del 2
(NB! Denne forelesningen er digital.)
RSA-kryptografi og ordenen til et heltall modulo \(n\) (notater pluss 8.1 i Burton) - Litt mer om RSA og nok et eksempel
- Definisjon av ordenen til et heltall modulo \(n\)
- Primitive røtter til et positivt heltall \(n\)
Mandag 26.10 del 1
Mandag 26.10 del 2
(Merk at det ved en glipp i første time ble sagt at \(a_0,a_1,\ldots, a_n\) skal være relativt primiske til \(p\) i Lagranges teorem. Her skal vi kun kreve at \(a_n\) er relativt primisk til \(p\) slik at graden til polynomet er \(n\) modulo \(p\).)
Polynomkongruenser modulo et primtall (Burton 8.2) - Eksempel på positivt heltall uten primitiv rot
- Lagranges teorem for antall løsninger av polynomkongruenser modulo et primtall
- Wilsons teorem som korollar til Lagranges teorem
Onsdag 28.10 del 1
Onsdag 28.10 del 2
Primitive røtter til primtall (Burton 8.2) - Antall tall av gitt orden modulo \(p\)
- Et primtall \(p\) har \(\phi(p-1)\) primitive røtter
- Gjensyn med den kvadratiske kongruensen \(x^2+1\equiv 0 (\operatorname{mod} p)\)
- Artins formodning
Mandag 02.11 del 1
Mandag 02.11 del 2
Kvadratiske rester og Legendre-symbolet (Burton 9.1 og 9.2) - Kvadratiske rester og ikke-rester modulo et odde primtall
- Eulers kriterium
- Legendre-symbolet \((a/p)\)
- Legendre-symbolet er en periodisk fullstendig multiplikativ funksjon
Onsdag 04.11 del 1
Onsdag 04.11 del 2
NB! Forelesningen blir digital.
Gauss' lemma (Burton 9.2) - Gauss' lemma
- Beregning av \((2/p)\) ved hjelp av Gauss' lemma
- Det fins uendelig mange primtall på formen \(8k-1\)
- Germain-primtall og primtall med \(2\) som primitiv rot
Mandag 09.11 del 1
Mandag 09.11 del 2
(Siste forelesning med nytt stoff)
Den kvadratiske resiprositetsloven (Burton 9.3) - Den kvadratiske resiprositetsloven
- Anvendelser av den kvadratiske resiprositetsloven
Onsdag 11.11.: Ingen forelesning
Mandag 16.11 del 1
Mandag 16.11 del 2
(NB! Forelesningen blir digital.)
Repetisjon med utgangspunkt i Øving 13
Onsdag 18.11: Digital spørretime gjennom den vanlige Zoom-linken
2020-11-22, Kristian Seip