Forelesninger
| Video | Tema | Stikkord | |
|---|---|---|---|
| Mandag 17.08 del 1 Mandag 17.08 del 2 | Introduksjon og matematisk induksjon (1.1 i Burton) | - Om å studere matematikk - Hva er elementær tallteori? - Velordningsprinsippet og matematisk induksjon - Eksempler på induksjonsbevis | |
| Onsdag 19.08 del 1 Onsdag 19.08 del 2 (Problemet med notatene i del 2 er fikset) | Binomialteoremet (1.2 i Burton) og divisjonsalgoritmen (2.2 i Burton) | - Binomialkoeffisienter - Pascals regel (trekant) - Binomialteoremet - Divisjonsalgoritmen - Eksempler på bruk av divisjonsalgoritmen | |
| Mandag 24.08 del 1 Mandag 24.08 del 2 | Største felles divisor (2.3 i Burton) | - Delelighet og notasjonen \( a|b\) - Største felles divisor (gcd) - \( \gcd(a,b)\) representert som \(ax+by \) - Relativt primiske tall - Euklids lemma | |
| Onsdag 26.08 del 1 Onsdag 26.08 del 2 | Euklids algoritme (2.4 i Burton) | - Algoritme for beregning av \( \gcd(a,b) \) - Algoritme for å finne \( \gcd(a,b) \) uttrykt som \( ax+by\) - Minste felles multiplum \( \operatorname{lcm}(a,b) \) av \(a\) og \( b \) - Sammenheng mellom \( \gcd(a,b) \) og \( \operatorname{lcm}(a,b) \) | |
| Mandag 31.08 del 1 Mandag 31.08 del 2 | Den diofantiske ligningen \(ax+by=c\) og aritmetikkens fundamentalteorem (2.5 og 3.1 i Burton) | - Diofantisk ligning - Euklids algoritme og ligningen \(ax+by=c\) - primtall - primtallsfaktorisering - aritmetikkens fundamentalteorem | |
| Onsdag 02.09 del 1 Onsdag 0209 del 2 | Aritmetikkens fundamentalteorem og Eratosthenes' såld (3.1 og 3.2 i Burton) | - Positive heltall på kanonisk form - \(\gcd(a,b)\) på kanonisk form - \( \sqrt{2} \) er irrasjonalt - Eratosthenes' såld - Det fins uendelige mange primtall (Euklid og Euler) | |
| Mandag 07.09 del 1 Mandag 07.09 del 2 | Noen klassiske problem om primtall (3.3 i Burton) og kongruens (4.2 i Burton) | - Primtallstvillinger og primtallsgap - Goldbachs formodning - Dirichlets teorem for primtall i aritmetiske progresjoner (uten bevis!) - Kongruens og notasjonen \(a\equiv b \ (\operatorname{mod} n) \) - Regneregler for kongruens | |
| Onsdag 09.09 del 1 Onsdag 09.09 del 2 | Mer om kongruensregning (4.3 i Burton) | - Posisjonssystem (desimaltall og binære tall) - Binær eksponentialalgoritme - Kongruensregning med polynom med heltallskoeffisienter - Tverrsumkriterier for delelighet med 3, 9, 11 | |
| Mandag 14.09 del 1 Mandag 14.09 del 2 Eksempelet som ikke ble fullført på slutten av del 2 vil bli gjennomgått i forelesningen på onsdag. | Lineære kongruenser og det kinesiske restteorem (4.4 i Burton) | - Forkorting av kongruenser - Fullstendig mengde av rester modulo \(n\) - Løsning av lineær kongruenser - Det kinesiske restteorem - Løsning av system av lineære kongruenser | |
| Onsdag 16.09 del 1 Onsdag 16.09 del 2 | Mer om lineære kongruenser og det kinesiske restteorem (4.4 i Burton) | - Bevis for det kinesiske restteorem - Eksempler på bruk av det kinesiske restteorem | |
| Mandag 21.09 del 1 Mandag 21.09 del 2 | Fermats lille teorem og pseudoprimtall (5.2 i Burton) | - Fermats lille teorem - Pseudoprimtall - Carmichael-tall (absolutte pseudoprimtall) - Kvadratfrie tall | |
| Onsdag 23.09 del 1 Onsdag 23.09 del 2 | Wilsons teorem (5.3 i Burton) | - Litt mer om Fermats lille teorem og Carmichael-tall - Wilsons teorem - Karakterisering av primtallene ved Wilsons teorem - Den kvadratiske kongruensen \(x^2+1\equiv 0 (\operatorname{mod} p)\) | |
| Mandag 28.09 del 1 Mandag 28.09 del 2 | Divisorfunksjoner (6.1 i Burton) | - Aritmetiske funksjoner - Divisorfunksjonene \(\tau\) og \(\sigma\) - Multiplikative funksjoner | |
| Onsdag 30.09 del 1 Onsdag 30.09 del 2 | Möbius-inversjon (6.2 i Burton) | - Möbius-funksjonen - Möbius-inversjon - Möbius-funksjonens spesielle rolle i klassen av multiplikative funksjoner | |
| Mandag 05.10 del 1 Mandag 05.10 del 2 | Repetisjon gjennom oppgaveregning | Vi ser på følgende eksamensoppgaver: - H2003: 1, 5 - V2004: 4 - V2010: 1, 8 - H2012: 2 - K2019: 8 | |
| Onsdag 07.10. | Midtsemesterprøve – ingen forelesning | ||
| Mandag 12.10 del 1 Mandag 12.10 del 2 | Eulers Phi-funksjon (7.2 og 7.4 i Burton) | - Eulers Phi-funksjon \(\phi(n)\) - Eulers Phi-funksjon er multiplikativ - Gauss' teorem \(n=\sum_{d|n} \phi(d)\) | |
| Onsdag 14.10 del 1 Onsdag 14.10 del 2 (NB! Fra og med denne forelesningen er alle onsdagsforelesninger fysiske. De foregår i Kjel 2 og vil bli filmet.) | Eulers teorem (7.3 i Burton) | - Eulers teorem (generalisering av Fermats lille teorem) - Eksempler og anvendelser | |
| Mandag 19.10 del 1 Mandag 19.10 del 2 | RSA-kryptografi | - Eulers teorem tilpasset RSA-systemet - Offentlig krypteringsnøkkel - Hemmelig dekrypteringsnøkkel | |
| Onsdag 21.10 del 1 NB! Ved en beklagelig glipp regnes det her feil i H2012 4c). Her er det riktige å regne modulo 77 når vi dekrypterer meldingen. Onsdag 21.10 del 2 (NB! Denne forelesningen er digital.) | RSA-kryptografi og ordenen til et heltall modulo \(n\) (notater pluss 8.1 i Burton) | - Litt mer om RSA og nok et eksempel - Definisjon av ordenen til et heltall modulo \(n\) - Primitive røtter til et positivt heltall \(n\) | |
| Mandag 26.10 del 1 Mandag 26.10 del 2 (Merk at det ved en glipp i første time ble sagt at \(a_0,a_1,\ldots, a_n\) skal være relativt primiske til \(p\) i Lagranges teorem. Her skal vi kun kreve at \(a_n\) er relativt primisk til \(p\) slik at graden til polynomet er \(n\) modulo \(p\).) | Polynomkongruenser modulo et primtall (Burton 8.2) | - Eksempel på positivt heltall uten primitiv rot - Lagranges teorem for antall løsninger av polynomkongruenser modulo et primtall - Wilsons teorem som korollar til Lagranges teorem | |
| Onsdag 28.10 del 1 Onsdag 28.10 del 2 | Primitive røtter til primtall (Burton 8.2) | - Antall tall av gitt orden modulo \(p\) - Et primtall \(p\) har \(\phi(p-1)\) primitive røtter - Gjensyn med den kvadratiske kongruensen \(x^2+1\equiv 0 (\operatorname{mod} p)\) - Artins formodning | |
| Mandag 02.11 del 1 Mandag 02.11 del 2 | Kvadratiske rester og Legendre-symbolet (Burton 9.1 og 9.2) | - Kvadratiske rester og ikke-rester modulo et odde primtall - Eulers kriterium - Legendre-symbolet \((a/p)\) - Legendre-symbolet er en periodisk fullstendig multiplikativ funksjon | |
| Onsdag 04.11 del 1 Onsdag 04.11 del 2 NB! Forelesningen blir digital. | Gauss' lemma (Burton 9.2) | - Gauss' lemma - Beregning av \((2/p)\) ved hjelp av Gauss' lemma - Det fins uendelig mange primtall på formen \(8k-1\) - Germain-primtall og primtall med \(2\) som primitiv rot | |
| Mandag 09.11 del 1 Mandag 09.11 del 2 (Siste forelesning med nytt stoff) | Den kvadratiske resiprositetsloven (Burton 9.3) | - Den kvadratiske resiprositetsloven - Anvendelser av den kvadratiske resiprositetsloven | |
| Onsdag 11.11.: Ingen forelesning | |||
| Mandag 16.11 del 1 Mandag 16.11 del 2 (NB! Forelesningen blir digital.) | Repetisjon med utgangspunkt i Øving 13 | ||
| Onsdag 18.11: Digital spørretime gjennom den vanlige Zoom-linken |