Forelesninger
| Tema | Stikkord |
|---|---|
| De reelle tallene (Krantz 1.1 ) | - \(\Bbb{Q}\) og \(\Bbb{R}\) som ordnede tallkropper - Øvre skranke; supremum - Kompletthetsegenskapen til de reelle tall - Konstruksjon av \(\Bbb{R}\) fra \(\Bbb{Q}\) |
| De komplekse tallene | - Definisjon av komplekse tall - Det komplekse plan - Polar representasjon; kompleks konjugasjon - Sum og produkt av komplekse tall; geometrisk fortolkning - Multiplikativ invers \(1/z\) - \(\Bbb{C}\) en tallkropp med \(\Bbb{R}\) som underkropp. |
| Algebraens fundamentalsetning og litt mer om komplekse tall og geometri i planet | - Polarform - Røtter av komplekse tall - Algebraens fundamentalsetning |
| Konvergens av følger (Krantz kap. 2) | Cauchy-følger og Cauchys kriterium for konvergens |
| Konvergens av følger (Krantz kap. 2) | - Monotone følger - Bolzano–Weierstrass' teorem for eksistens av konvergente delfølger - \( \liminf \) og \(\limsup \) for følger av reelle tall |
| Konvergens av rekker (Krantz 3.1 - 3.2) | - Definisjon av konvergens og divergens av rekker - \(\sum_n a_n \) konvergerer \( \Rightarrow a_n \to 0 \) - Geometrisk rekke \( \sum_{n=0}^\infty x^n \) - Harmonisk rekke \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \) - Konvergenskriterier |
| Konvergens av rekker (Krantz 3.1 - 3.2) | - Konvergenskriterier: Forholdstest og rottest |
| Alternerende rekke-test; delvis summasjon (Krantz 3.3) | - Alternerende rekke-test - Delvis summasjon. - Harmonisk rekke \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^r \) - Rekken \( \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k}{k} \) - Betinget og absolutt konvergens |
| Betinget og absolutt konvergens, tallet \(e\) (Krantz 3.3–3.5) | - Betinget og absolutt konvergens - Riemann--Weierstrass' teorem om omstokking av leddene i en rekke. - \(e\) er et irrasjonalt tall |
| Åpne og lukkede mengder (Krantz 4.1) | - Åpne og lukkede mengder - En åpen delmengde av ℝ er en endelig eller tellbar union av åpne intervall |
| kompakte mengder (Krantz 4.2-4.3) | - Kompakte mengder - Heine–Borel-teoremet |
| kompakte mengder (Krantz 4.2-4.3) | - Kompakte mengder og åpne overdekninger |
| kontinuerlige funksjoner (Krantz 4.4, 5.2) | - Kontinuerlige funksjoner - Topologisk tilnærming til kontinuitet - utregning av inverse bilder |
| Kontinuerlige funksjoner på kompakte mengder og uniform kontinuitet (Krantz 5.3) | - Kontinuerlige funksjoner på kompakte mengder (nytt blikk på grunnleggende resultat fra Analyse 1) - Uniform kontinuitet |
| Punktvis og uniform konvergens av funksjonsfølger (Krantz 8.1) | - En kontinuerlig funksjon på en kompakt mengde er uniformt kontinuerlig - Punktvis konverges av en funksjonsfølge - Uniform konvergens av en funksjonsfølge. |
| Grensesetninger for uniform konvergens (Krantz 8.1-8.2) | - Uniform konvergens av en følge av kontinuerlige funksjoner - Uniforme Cauchy-følger - Grensesetninger for integrasjon og derivasjon av følger av kontinuerlige funksjoner. |
| Weierstrass' 𝑀 M -test og potensrekker (Krantz 8.3, 9.1-9.2) | - Weierstrass' M-test for uniform konvergens av rekker - Konvergens av potensrekker |
| Konvergens av potensrekker (Krantz 9.2) | - Konvergens av potensrekker - Abels teorem |
| Konvergens av potensrekker (Krantz 9.2) | - Hadamards formel for konvergensradius; forholdstest |
| Taylorrekker (Krantz 9.2) | - Taylorrekker av Cos(x) og Sin(x) fuksjoner |
| Numerisk løsning av ligninger (Adams & Essex 4.2) | - Løsning av ligningen \(x=f(x) \) ved fikspunktiterasjon - Konvergens av fikspunktiterasjon (fikspunktteorem) - Newtons metode fra lineær approksimasjon |
| Førsteordens differensialligninger (Adams & Essex 18.2-18.3, Krantz 10.1) | - Førsteordens ligninger; spesialtilfeller: separable og lineære - Eksistens og entydighet av løsning av førsteordens initialverdiproblem (Picard–Lindelöf fra Banachs fikspunktteorem) |
| Annenordens lineær differential ligninger | - Karakteristisk ligning - superposisjon av løsninger |
| Annen og høyere ordens lineære differensialligninger med konstante koeffisienter (3.7 og 18.5 i Adams & Essex) | - Eksistens og entydighet av løsning av initialverdiproblemet 𝑎𝑦″+𝑏𝑦′+𝑐𝑦=0, 𝑦(𝑡0)=𝑘, 𝑦′(𝑡0)=𝑑 |
| Inhomogene lineære differensialligninger (Adams & Essex 18.6) | Partikulærløsning av inhomogen lineær ligning |