Forelesninger
Opptak er også tilgjengelig direkte fra Panopto.
| Video | Tema | Stikkord |
|---|---|---|
| 9/1 (1) 9/1 (2) | De reelle tallene (Krantz 1.1 ) | - \(\Bbb{Q}\) og \(\Bbb{R}\) som ordnede tallkropper - Øvre skranke; supremum - Kompletthetsegenskapen til de reelle tall - Konstruksjon av \(\Bbb{R}\) fra \(\Bbb{Q}\) |
| 10/1 (1) 10/1 (2) | De komplekse tallene | - Definisjon av komplekse tall - Det komplekse plan - Polar representasjon; kompleks konjugasjon - Sum og produkt av komplekse tall; geometrisk fortolkning - Multiplikativ invers \(1/z\) - \(\Bbb{C}\) en tallkropp med \(\Bbb{R}\) som underkropp. |
| 16/1 (1) 16/1 (2) | Algebraens fundamentalsetning og litt mer om komplekse tall og geometri i planet | - Polarform - Røtter av komplekse tall - Algebraens fundamentalsetning |
| 17/1 (1) 17/1 (2) | Konvergens av følger (Krantz kap. 2) | Cauchy-følger og Cauchys kriterium for konvergens |
| 23/1 (1) 23/1 (2) | Konvergens av følger (Krantz kap. 2) | - Monotone følger - Bolzano–Weierstrass' teorem for eksistens av konvergente delfølger - \( \liminf \) og \(\limsup \) for følger av reelle tall |
| 24/1 (1) 24/1 (2) | Konvergens av rekker (Krantz 3.1 - 3.2) | - Definisjon av konvergens og divergens av rekker - \(\sum_n a_n \) konvergerer \( \Rightarrow a_n \to 0 \) - Geometrisk rekke \( \sum_{n=0}^\infty x^n \) - Harmonisk rekke \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \) - Konvergenskriterier |
| 30/01 (1) 30/01 (2) | Konvergens av rekker (Krantz 3.1 - 3.2) | - Konvergenskriterier: Forholdstest og rottest |
| 31/01 (1) 31/01 (2) | Alternerende rekke-test; delvis summasjon (Krantz 3.3) | - Alternerende rekke-test - Delvis summasjon. - Harmonisk rekke \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^r \) - Rekken \( \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k}{k} \) - Betinget og absolutt konvergens |
| 7/02 (1) 7/02 (2) | Betinget og absolutt konvergens, tallet \(e\) (Krantz 3.3–3.5) | - Betinget og absolutt konvergens - Riemann--Weierstrass' teorem om omstokking av leddene i en rekke. - \(e\) er et irrasjonalt tall |
| 13/02 (1) 13/02 (2) | Åpne og lukkede mengder (Krantz 4.1) | - Åpne og lukkede mengder - En åpen delmengde av ℝ er en endelig eller tellbar union av åpne intervall |
| 14/02 (1) 14/02 (2) | kompakte mengder (Krantz 4.2-4.3) | - Kompakte mengder - Heine–Borel-teoremet |
| 20/02 (1) 20/02 (2) | kompakte mengder (Krantz 4.2-4.3) | - Kompakte mengder og åpne overdekninger |
| 21/02 (1) 21/02 (2) | kontinuerlige funksjoner (Krantz 4.4, 5.2) | - Kontinuerlige funksjoner - Topologisk tilnærming til kontinuitet - utregning av inverse bilder |
| 27/02 (1) 27/02 (2) | Kontinuerlige funksjoner på kompakte mengder og uniform kontinuitet (Krantz 5.3) | - Kontinuerlige funksjoner på kompakte mengder (nytt blikk på grunnleggende resultat fra Analyse 1) - Uniform kontinuitet |
| 28/02 (1) 28/02 (2) | Punktvis og uniform konvergens av funksjonsfølger (Krantz 8.1) | - En kontinuerlig funksjon på en kompakt mengde er uniformt kontinuerlig - Punktvis konverges av en funksjonsfølge - Uniform konvergens av en funksjonsfølge. |
| 6/03 (1) 6/03 (2) | Grensesetninger for uniform konvergens (Krantz 8.1-8.2) | - Uniform konvergens av en følge av kontinuerlige funksjoner - Uniforme Cauchy-følger - Grensesetninger for integrasjon og derivasjon av følger av kontinuerlige funksjoner. |
| 7/03 (1) 7/03 (2) | Weierstrass' 𝑀 M -test og potensrekker (Krantz 8.3, 9.1-9.2) | - Weierstrass' M-test for uniform konvergens av rekker - Konvergens av potensrekker |
| 13/03 (1) 13/03 (2) | Konvergens av potensrekker (Krantz 9.2) | - Konvergens av potensrekker - Abels teorem |
| 14/03 (1) 14/03 (2) | Konvergens av potensrekker (Krantz 9.2) | - Hadamards formel for konvergensradius; forholdstest |
| 20/03 (1) 20/03 (2) | Taylorrekker (Krantz 9.2) | - Taylorrekker av Cos(x) og Sin(x) fuksjoner |
| 21/03 (1) 21/03 (2) | Numerisk løsning av ligninger (Adams & Essex 4.2) | - Løsning av ligningen \(x=f(x) \) ved fikspunktiterasjon - Konvergens av fikspunktiterasjon (fikspunktteorem) - Newtons metode fra lineær approksimasjon |
| 27/03 (1) 27/03 (2) | Førsteordens differensialligninger (Adams & Essex 18.2-18.3, Krantz 10.1) | - Førsteordens ligninger; spesialtilfeller: separable og lineære - Eksistens og entydighet av løsning av førsteordens initialverdiproblem (Picard–Lindelöf fra Banachs fikspunktteorem) |