Forelesninger
Opptak er også tilgjengelig direkte fra Panopto.
| Video | Tema | Stikkord |
|---|---|---|
| Tirsdag 11.01. del 1 Tirsdag 11.01. del 2 | De reelle tallene (Krantz 1.1 og A2.7) | - \(\Bbb{Q}\) og \(\Bbb{R}\) som ordnede tallkropper - Øvre og nedre skranker; supremum og infimum - Kompletthetsegenskapen til de reelle tall - Konstruksjon av \(\Bbb{R}\) fra \(\Bbb{Q}\) - Tellbare og ikketellbare mengder. Eksempler: \(\Bbb{Q}\) og \(\Bbb{R}\). |
| Fredag 14.01. del 1 Fredag 14.01. del 2 | De komplekse tallene (Krantz 1.2; se også A1 i Adams & Essex) | - Definisjon av komplekse tall - Det komplekse plan - Polar representasjon; kompleks konjugasjon - Sum og produkt av komplekse tall; geometrisk fortolkning - Multiplikativ invers \(1/z\) - \(\Bbb{C}\) en tallkropp med \(\Bbb{R}\) som underkropp. |
| Tirsdag 18.01. del 1 Tirsdag 18.01. del 2 Komplekse tall og geometri i planet (forelesning fra vår 2021) | Algebraens fundamentalsetning og litt mer om komplekse tall og geometri i planet | - Røtter av komplekse tall - Algebraens fundamentalsetning - Geometri i planet og komplekse tall (parallellogramidentiteten, medianenes felles skjæringspunkt, hjørnene i likesidet trekant) |
| Fredag 21.01. del 1 Fredag 21.01. del 2 | Konvergens av følger (Krantz kap. 2) | - Cauchy-følger og Cauchys kriterium for konvergens - Monotone følger - Bolzano–Weierstrass' teorem for eksistens av konvergente delfølger - \( \liminf \) og \(\limsup \) for følger av reelle tall |
| Tirsdag 25.01. del 1 Tirsdag 25.01. del 2 | Konvergens av rekker (Krantz 3.1 - 3.2) | - Bevis for Bolzano–Weierstrass via monotone følger - Følgen \(x^n/n!\) - Definisjon av konvergens og divergens av rekker - \(\sum_n a_n \) konvergerer \( \Rightarrow a_n \to 0 \) - Geometrisk rekke \( \sum_{n=0}^\infty x^n \) - Teleskoperende rekke - Harmonisk rekke \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \) - Konvergenskriterier |
| Fredag 28.01. del 1 Fredag 28.01. del 2 | Alternerende rekke-test; delvis summasjon (Krantz 3.3) | - Alternerende rekke-test - Delvis summasjon (se her for delvis summasjon på integralform samt de to neste punktene for denne forelesningen) - Harmonisk rekke \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \) og Eulers konstant \(0.57721\ldots\) - Rekken \( \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k}{k} \) |
| Tirsdag 01.02. del 1 Tirsdag 01.02. del 2 | Betinget og absolutt konvergens, tallet \(e\) og Cauchy-produkt (Krantz 3.3–3.5) | - Betinget og absolutt konvergens - Riemann--Weierstrass' teorem om omstokking av leddene i en rekke. - \(e\) er et irrasjonalt tall - Cauchy-produkt av to rekker |
| Fredag 04.02. del 1 Fredag 04.02. del 2 | Åpne og lukkede mengder (Krantz 4.1) | - Åpne og lukkede mengder - En åpen delmengde av \(\Bbb{R}\) er en endelig eller tellbar union av åpne intervall - Opphopningspunkt |
| Tirsdag 08.02. del 1 Tirsdag 08.02. del 2 | Mer om åpne og lukkede mengder; kompakte mengder (Krantz 4.2-4.3) | - Randen til en mengde, tillukningen til en mengde - Indre punkter, isolerte punkter - Alternativ formulering av Bolzano–Weierstrass - Kompakte mengder og åpne overdekninger (Korreksjon av bevis for Thm. 4.37) - Heine–Borel-teoremet |
| Fredag 11.02. del 1 Fredag 11.02. del 2 | Cantor-mengden; kontinuerlige funksjoner (Krantz 4.4, 5.2) | - Cantor-mengden: konstruksjon og grunnleggende egenskaper - Kontinuerlige funksjoner (Oppklaring om definisjon av kontinuerlige funksjoner) - Topologisk tilnærming til kontinuitet |
| Tirsdag 15.02. del 1 Tirsdag 15.02. del 2 | Kontinuerlige funksjoner på kompakte mengder og uniform kontinuitet (Krantz 5.3) | - Eksempler på utregning av inverse bilder - Kontinuerlige funksjoner på kompakte mengder (nytt blikk på grunnleggende resultat fra Analyse 1) - Uniform kontinuitet |
| Fredag 18.02. del 1 Fredag 18.02. del 2 | Punktvis og uniform konvergens av funksjonsfølger (Krantz 8.1) | - En kontinuerlig funksjon på en kompakt mengde er uniformt kontinuerlig - Punktvis konverges av en funksjonsfølge - Uniform konvergens av en funksjonsfølge. |
| Tirsdag 22.02. del 1 Tirsdag 22.02. del 2 | Grensesetninger for uniform konvergens (Krantz 8.1-8.2) | - Uniform konvergens av en følge av kontinuerlige funksjoner - Uniforme Cauchy-følger - Grensesetninger for integrasjon og derivasjon av følger av kontinuerlige funksjoner. |
| Fredag 25.02. del 1 Fredag 25.02. del 2 | Weierstrass' approksimasjonsteorem (Krantz 8.4) | - Weierstrass' approksimasjonsteorem (polynomapproksimasjon av kontinuerlige funksjoner) |
| Tirsdag 01.03. del 1 Tirsdag 01.03. del 2 | Weierstrass' \(M\)-test og potensrekker (Krantz 8.3, 9.1-9.2) | - Weierstrass' \(M\)-test for uniform konvergens av rekker - Konvergens av potensrekker |
| Fredag 04.03. del 1 Fredag 04.03. del 2 | Konvergens av potensrekker (Krantz 9.2) | - Hadamards formel for konvergensradius; forholdstest - Abels teorem |
| Tirsdag 08.03. del 1 Tirsdag 08.03. del 2 | Taylorrekker; eksponentialfunksjonen (Krantz 9.2 - 9.3) | - Taylorrekker - Eksponentialfunksjonen |
| Fredag 11.03. del 1 Fredag 11.03. del 2 | Trigonometriske funksjoner og Stirlings formel (Krantz 9.3) | - Trigonometriske funksjoner - Stirlings formel |
| Tirsdag 15.03. del 1 Tirsdag 15.03. del 2 | Numerisk løsning av ligninger (Adams & Essex 4.2) | - Løsning av ligningen \(x=f(x) \) ved fikspunktiterasjon - Konvergens av fikspunktiterasjon (fikspunktteorem) - Newtons metode fra lineær approksimasjon - Konvergens av Newtons metode (kvadratisk konverges) |
| Fredag 18.03. del 1 Fredag 18.03. del 2 | Førsteordens differensialligninger (Adams & Essex 18.2-18.3, Krantz 10.1) | - Førsteordens ligninger; spesialtilfeller: separable og lineære - Eksistens og entydighet av løsning av førsteordens initialverdiproblem (Picard–Lindelöf fra Banachs fikspunktteorem) |
| Tirsdag 22.03. | Eulers metode for løsning av førsteordens ligninger (18.3 i Adams & Essex) | - Avsluttende om Picard–Lindelöf og Banachs fikspunktteorem - Eulers metode |
| Fredag 25.03. del 1 Fredag 25.03. del 2 | Annen ordens homogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter (3.7 i Adams & Essex) | - Forbedret Eulers metode - Karakteristisk ligning til differensialligningen - Reduksjon av ordenen (se Oppgave 18, 3.7 i Adams & Essex) - Eksistens og entydighet av løsning av initialverdiproblemet \(ay''+by'+cy=0, \ y(t_0)=k, \ y'(t_0)=d \) |
| Tirsdag 29.03. del 1 Tirsdag 29.03. del 2 | Annen og høyere ordens lineære differensialligninger med konstante koeffisienter (3.7 og 18.5 i Adams & Essex) | - Eksistens og entydighet av løsning av initialverdiproblemet \(ay''+by'+cy=0, \ y(t_0)=k, \ y'(t_0)=d \) - Eksempel: Harmoniske svingninger og dempede harmoniske svingninger; kritisk og overkritisk dempning - Euler-ligninger (eller Euler–Cauchy-ligninger) - Høyereordens lineære differensialligninger med konstante koeffisienter (anvendelse av algebraens fundamentalsetning) |
| Fredag 01.04. del 1 Fredag 01.04. del 2 | Inhomogene lineære differensialligninger (Adams & Essex 18.6) | - Partikulærløsning av inhomogen lineær ligning - Ukjente koeffisienters metode - Resonans - Variasjon av parametre |
| Tirsdag 05.04. del 1 Tirsdag 05.04. del 2 | Potensrekkeløsninger av homogene lineære ligninger (18.8 i Adams & Essex og 10.2 i Krantz) | - Rekurrensrelasjon - Ordinære, singulære og regulære singulære punkter - Hermite-ligningen - Bessels ligning og Bessel-funksjoner |
| Fredag 08.04. | Ingen forelesning | |
| Fredag 22.04. del 1 Fredag 22.04. del 2 | Repetisjon | |
| Tirsdag 26.04. del 1 Tirsdag 26.04. del 2 | Repetisjon |