Forelesninger
Det kreves Feide-innlogging for å se videoene.
| Video | Tema | Stikkord |
|---|---|---|
| 12.01. | Kjeglesnitt: Parabel og ellipse (8.1 i Adams & Essex) | - Kjeglesnitt i rommet - Styrelinje, brennpunkt, eksentrisitet; store og lille halvakse - Fokale egenskaper til parabel og ellipse - Eksempler på anvendelser: parabolantenne og litotripsi |
| 15.01. del 1 15.01. del 2 | Kjeglesnitt: Hyperbel, klassifisering av annengradskurver (8.1 i Adams & Essex) | - Fokal egenskap til hyperbel (eksempel på anvendelse: Cassegrain-reflektor) - Klassifisering av annengradskurver: Translasjon og rotasjon av koordinatsystem |
| 19.01. del 1 19.01. del 2 | Vektorer i planet og rommet. Parametriske kurver i planet (10.2, 8.2 i Adams & Essex) | - Prikkprodukt og ortogonal projeksjon - Trekantulikhet og Schwarz' ulikhet - Definisjon av parametrisk kurve - Plane kurver |
| 22.01. del 1 22.01. del 2 | Glatte parametriske kurver og buelengde (8.3 og 8.4 i Adams & Essex) | - Tangentvektor til en parametrisk kurve - Buelengde til en parametrisk kurve - Areal under kurver og overflateareal av rotasjonsflater |
| 26.01. del 1 (noen små trykkfeil i del 1 rettes opp i starten av del 2), 26.01. del 2 | Punktvis og uniform konvergens av funksjonsfølger (11.3 i Lindstrøm) | - Punktvis og uniform konvergens av funksjonsfølger - Uniform konvergens av følger av kontinuerlige funksjoner |
| 29.01. del 1 29.01. del 2 | Integrasjon og derivasjon av funksjonsfølger (11.4 i Lindstrøm) | - Grensesetninger for integrasjon og derivasjon av følger av kontinuerlige funksjoner - Derivasjon under integraltegnet |
| 02.02. del 1 02.02. del 2 | Konvergens og divergens av rekker (9.2 i Adams & Essex) | - Definisjon av konvergens og divergens av rekker - \(\sum_n a_n \) konvergerer \( \Rightarrow a_n \to 0 \) - Geometrisk rekke \( \sum_{n=0}^\infty x^n \) - Teleskoperende rekke - Harmonisk rekke \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n \) og Eulers konstant \(0.57721\ldots\) |
| 05.02. del 1 05.02. del 2 | Konvergens av rekker med ikkenegative ledd (9.3 i Adams & Essex) | - Sammenligning med \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p} \) - Integraltest - Sammenligning med geometrisk rekke |
| 09.02. del 1 09.02. del 2 | Absolutt og betinget konvergens (9.4 i Adams & Essex) | - Mer om sammenligning med geometrisk rekke (forholdstesten) - Absolutt konvergens og betinget konvergens - Test for konvergens av alternerende rekke med avtagende ledd |
| 12.02. del 1 12.02. del 2 | Mer om absolutt og betinget konvergens; potensrekker (9.4, 9.5 i Adams & Essex) | - Betinget konvergens og endring av summasjonsrekkefølge - Potensrekker - Konvergensradius til en potensrekke (her ser du hvordan den kan uttrykkes ved hjelp av rottesten) |
| 16.02. del 1 16.02. del 2 | Regning med potensrekker (9.5 i Adams & Essex) | - Mer om rottesten - Weierstrass' \(M\)-test for uniform konvergens - Integrasjon og derivasjon av potensrekker |
| 19.02. del 1 19.02. del 2 | Abels teorem og Taylor- og Maclaurin-rekker (9.5 og 9.6 i Adams & Essex) | - Abels teorem (kontinuitet i konvergensintervallet) - Taylor- og Maclaurin-rekker – definisjon og rekkene til kjente elementære funksjoner |
| 22.02. del 1 22.02. del 2 | Taylor- og Maclaurin-rekker; binomial-rekken (9.6 og 9.8 i Adams & Essex) | - Oppklaring: Hvorfor kan vi beregne den deriverte av en potensrekke ved leddvis derivasjon av rekken i det åpne konvergensintervallet? - Sammenheng mellom Taylor-rekker og Taylors formel - Flere eksempler på Maclaurin- og Taylor-rekker - Binomialrekken |
| 26.02. del 1 26.02. del 2 | Stirlings formel og irrasjonalitet av \(e\); oppsummering av rekketeorien | - Stirlings formel \(\lim_{n\to \infty} n!/(\sqrt{2\pi} n^{n+1/2} e^{-n})=1\) ved bruk av Eulers summasjonsformel - \(e\) er et irrasjonalt tall (s. 567 i A & E) - Oppsummering av rekketeorien |
| 02.03. del 1 02.03. del 2 | Komplekse tall del 1 (A1 i Adams & Essex) | - Definisjon av komplekse tall - Det komplekse plan: geometrisk fortolkning av komplekse tall - Polar representasjon; kompleks konjugasjon - Sum og produkt av komplekse tall; geometrisk fortolkning |
| 05.03. del 1 05.03. del 2 | Komplekse tall del 2 (A1 i Adams & Essex) | - Geometri i planet og komplekse tall (parallellogramidentiteten, medianenes felles skjæringspunkt, hjørnene i likesidet trekant) - Multiplikativ invers \(1/z\) - Røtter av komplekse tall - Summen av de \(n\)te enhetsrøttene (se oppgave 57) |
| 09.03. del 1 09.03. del 2 | Førsteordens differensialligninger (18.2 - 18.3 i Adams & Essex) | - Klassifisering av førsteordens ligninger: (1) separable, (2) lineære, (3) homogene, (4) eksakte - Eksistens og entydighet av løsning av førsteordens initialverdiproblem (Picard–Lindelöf fra Banachs fikspunktteorem) |
| 12.03. del 1 12.03. del 2 | Eulers metode og forbedret Eulers metode for løsning av førsteordens ligninger (18.3 i Adams & Essex) | - Avsluttende om Picard–Lindelöf og Banachs fikspunktteorem - Eulers metode - Forbedret Eulers metode |
| 16.03. del 1 16.03. del 2 | Annen ordens homogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter (3.7 i Adams & Essex) | - Karakteristisk ligning til differensialligningen - Reduksjon av ordenen (se Oppgave 18 i Adams & Essex) - Eksistens og entydighet av initialverdiproblemet \(ay''+by'+cy=0, \ y(t_0)=k, \ y'(t_0)=d \) |
| 19.03. del 1 19.03. del 2 | Annen og høyere ordens homogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter (3.7 og 18.5 i Adams & Essex) | - Eksempel: Harmoniske svingninger og dempede harmoniske svingninger; kritisk og overkritisk dempning - Euler-ligninger (eller Euler–Cauchy-ligninger) - Høyereordens lineære differensialligninger med konstante koeffisienter; algebraens fundamentalsetning |
| 23.03 del 1 23.03 del 2 | Inhomogene lineære differensialligninger (18.6 i Adams & Essex) | - Partikulærløsning av inhomogen lineær ligning - Ukjente koeffisienters metode - Resonans - Variasjon av parametre |
| 26.03. del 1 26.03. del 2 | Potensrekkeløsninger av annenordens homogene lineære ligninger (18.8 i Adams & Essex) | - Rekurrensrelasjon - Ordinære, singulære og regulære singulære punkter - Hermite-ligningen - Bessels ligning og Bessel-funksjoner |
| 09.04. del 1 09.04. del 2 | Oppsummering av annenordens lineære ligninger; fikspunktiterasjon (sistnevnte tema er fra 4.2 i Adams & Essex) | - Løsning av ligningen \(x=f(x)\) ved fikspunktiterasjon - Konvergens av fikspunktiterasjon (fikspunktteorem) |
| 13.04. | Newtons metode (4.2 i Adams & Essex) | - Newtons metode fra lineær approksimasjon - Konvergens av Newtons metode (kvadratisk konvergens) - Se notat om ovenstående |
| 16.04. del 1 16.04. del 2 | Repetisjon: Kjeglesnitt, parametriske kurver, komplekse tall | Eksamensoppgaver som regnes i denne forelesningen: - Vår 20, Oppgave 5 - Vår 19, Oppgave 1, 5 - Vår 18, Oppgave 4 - Kont 12, Oppgave 4 |
| 20.04 del 1 20.04 del 2 | Repetisjon: Rekketeori, inkludert konvergens og uniform konvergens av funksjonsfølger | Eksamensoppgaver som regnes i denne forelesningen: - Kont 19, Oppgave 3 - Kont 17, Oppgave 4 - Kont 15, Oppgave 7 - Kont 13, Oppgave 7 - Vår 10, Oppgave 5 - Vår 08, Oppgave 8 |
| 23.04 del 1 23.04 del 2 | Repetisjon: Differensialligninger og numeriske metoder | Eksamensoppgaver som regnes i denne forelesningen: - Vår 09, Oppgave 3 - Vår 11, Oppgave 2 - Vår 12, Oppgave 2 - Vår 13, Oppgave 6, 7 - Kont 15, Oppgave 3 |