MA1102 Grunnkurs i analyse II – vår 2017

Nøkleord:

1. kjeglesnitt.
2. Geometrisk og algebraisk beskrivelse av kjeglesnitt.
3. Andregradskurve.
4. Klassiferesing av kjeglesnitt
5. Styrelinje, brennpunkt og eksentrisitet av kjeglesnitt.

Etter en innledende orientering om emnet, startet jeg med kjeglesnitt. Viste de viktigste egenskapene ved kjeglesnitt. Degenererte og ikke-degenererte kjeglesnitt. Ga en algebraisk beskrivelse av kjeglesnitt: Ellipser, sirkler, parabler og Hyperbler. Translasjon.

Lysark uke 2

Nøkleord:

1. Regneregler for n-tupler og geometrisk tolkning.
2. Skalarproduktet.
3. Projeksjonen.
4. Parametriserte kurver
5. Buelengden av en kurve
6. Hastigheten, farten, akselerasjonen og baneakselerasjonen av en kurve,

Startet med tilleggskapitlet "Vektorregning og parametriske kurver" til Lindstrøms lærebok. Restrikterte til n=2 (vektorer og kurver i planet). Repeterte de viktigste fakta fra vektorregningen. Behandlet projeksjoner. Parameterstilling av kurver. Beregnet buelengden av en kurve.

vektorregning og kurver

På grunn av avlysning av siste forelesning

1. Parametriserte kurver
2. Buelengden av en kurve
3. Hastigheten, farten, akselerasjonen og baneakselerasjonen av en kurve,

og

1. Taylor-polynom
2. Restledd
3. Lagranges restleddsformel

Vi startet med Taylor-polynomer (11.1), og beregnet Taylor-polynomene for noen hyppig forekommende funksjoner. Fortsatte med Taylors formel med restledd (11.2)

lysark: uke 4

1. Funksjonsfølger
2. Punktvis konvergens
3. Avstand mellom to funksjoner
4. Uniformt konvergens
5. Derivert og integrasjon av funksjonsfølger

Tema var punktvis og uniform konvergens (11.3). Illustrerte med noen eksempler. Integrasjon og derivasjon av funksjonsfølger (11.4).

lysark: uke 5

1. Summen av en rekke
2. Geometriske rekker
3. Positive rekker
4. konvergenstester

Startet med rekker (12.1). Geometriske og harmoniske rekker. Positive rekker (12.2) og konvergenstester (12.2.3 og 12.2.4) og sammenligningstester (12.2.6 og 12.2.8). Grensesammenligningstesten (12.2.12) Forholdtesten (12.2.14) og rottesten 12.2.16).

lysark: uke 6

1. Alternerende rekker.
2. Absolutt konvergens.
3. Betinget konvergens.

Alternende rekker (12.3). Vi så absolutt og betinget konvergens (12.4).

lysark: uke 7

1. Ombyttede av rekke (ikke i pensum).
2. Rekker av funksjoner.
3. Uniformt og punktvis konvergens.
4. Konvergensområdet.
5. Potensrekker.

Viste at for en absolutt konvergent rekke kan leddene byttes om vilkårlig uten at dette endrer konvergensegenskapene eller summen. Den motsatte ytterlighet fremvises av betinget konvergente rekker: En slik kan manipuleres til å konvergere mot et hvilket som helst reelt tall ved et passende ombytte av leddene.

Fortsatte med rekker av funksjoner (12.5), viste Weierstrass's M-test, konvergens av potensrekker (12.6). Skrev opp Abels teorem (12.6.9)

lysark: uke 8

1. Konvergensradius.
2. Integrasjon og derivasjon av potensrekker.
3. Taylor-rekker.
4. Binomiske rekker.

1. Newtons metode.
2. Numerisk integrasjon: Trapesmetode og Simpsons metode.

Gjennomgikk Newtons metode (7.3) og illustrerte med noen eksempler. Fortsatte med numerisk integrasjon (8.7).

lysark: Uke 10

1. Komplekse tall.
2. Differensiallikninger.

Komplekse tall (3.1 - 3.3), og går over til differensialligninger: Lineære førsteordens (10.3) og separable (10.4). Eksistens og entydighet av løsning av 1. ordens lineær differensialligning med initialbetingelse (10.3). Separable differensialligninger (10.4). Startet med annenordens homogene ligninger med konstante koeffisienter (10.5)

Uke 13

- Differensiallikninger.

Startet med annenordens inhomogene ligninger (10.6). Gjorde en rekke eksempler med inhomogene ligninger som omfattet de fleste variantene.

Filmer om Tacoma Bridge finner du her:

https://archive.org/details/Pa2096Tacoma

https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs

- Numerisk løsning av differensiallikninger.

- Potensrekker og differensiallikninger.

Litt mer om numeriske løsninger (10.8). Viste å løse differensiallingingen \(y'=f(x)\) over et intervall \([a,b]\) med Eulers metode, Eulers midpunktmetode og Runge Kuttas metod.

uke 11-12

- Repetisjon

Vi skal se på noen gamle eksamensoppgaver:

Ti 4.april:

Mai 2007, oppg 1, 3

Mai 2008, oppg 3, 4, 8

Mai 2009, oppg 1, (6)

Fr 7.april:

Mai 2008, oppg 1, 5

Mai 2009, oppg 2

Mai 2010, oppg 3, 6

Des 2011, oppg 2

Regn gjerne oppgavene på forhånd, uten å se på LF.

- Repetisjon

Vi skal se på noen gamle eksamensoppgaver:

Fr 21.april:

Mai 2013, oppg 5

Mai 2014, oppg 2

Aug 2014, oppg 2

Juni 2015, oppg 1

Aug 2015, oppg 1

Mai 2016, oppg 1, 2

Regn gjerne oppgavene på forhånd, uten å se på LF.

- Repetisjon