Etter en innledende orientering om emnet, startet jeg med kjeglesnitt, basert på Hanche-Olsens notat fra i fjor. Viste de viktigste egenskapene ved ellipser og parabler, og startet med hyperbler.

Fortsatte med hyperbler. Regnet et eksempel med ellipser. Viste refleksjonsegenskap for parabler. Drøftet generelle annengradskurver i planet.

Startet med tilleggskapitlet "Vektorregning og parametriske kurver" til Lindstrøms lærebok. Restrikterte til n=2 (vektorer og kurver i planet). Repeterte de viktigste fakta fra vektorregningen. Regnet oppgave 5 (s. 13). Behandlet projeksjoner.

Gjennomgikk seksjonen "Parametriserte kurver" i tilleggskapitlet "Vektorregning og parametriske kurver" (s. 28-35). Spesielt ble sykloiden gjennomgått, og vi beregnet lengden til en bue av sykloiden. Så gikk vi tilbake til kjeglesnitt og viste refleksjonsegenskapen for ellipser.

Tema for neste uke: Først en oppfrisking av polarkoordinater med noen eksempler; vi vil også se på beregning av buelengde i polarkoordinater.
Dernest tar vi fatt på kapitel 11 i læreboka; første tema her er Taylor-polynomer.

Tok en rask gjennomgang av polarkoordinater, beregnet buelengden til en kardioide. Deretter startet vi med Taylor-polynomer (11.1), og beregnet Taylor-polynomene for noen hyppig forekommende funksjoner.

Fortsatte med Taylors formel med restledd (11.2). Gjennomgikk bl.a. eksempel 11.2.5, og gjorde oppgave 11.2.11.

Tema for neste uke: Punktvis og uniform konvergens (11.3), integrasjon og derivasjon av funksjonsfølger (11.4).

Dagens tema var punktvis og uniform konvergens (11.3). Illustrerte med noen eksempler i Maple. Gjorde følgende oppgaver fra 11.3: 1b, 2b, 6, 8.

Dagens tema var integrasjon og derivasjon av funksjonsfølger (11.4). Gjorde oppgave 11.4.10 og en variant av oppgave 11.4.2.

Neste uke: Starter med rekker (Kapittel 12).

Startet med rekker (12.1). Gjorde følgende oppgaver fra 12.1: 4c, 5, 8.

Positive rekker (12.2): Integraltesten, sammenligningstestene. I forbindelse med grensesammenligningstesten kom jeg i skade for å skrive M < 1 for grensen M i del (i). Dette er selvsagt ikke et nødvendig krav til grensen. Det holder at grensen eksisterer som et endelig tall (kan godt være lik 0).
Illustrerte den langsomme divergensen til den harmoniske rekken ved følgende: Dersom en ved universets begynnelse (13 milliarder år siden) startet med det første leddet og deretter adderte ett ledd per sekund frem til i dag (ca. \(4\times10^{17}\) ledd), ville summen fortsatt ikke være større enn 40.
Rakk å skrive opp forholdstesten.
Gjorde oppgave 12.2.3: cfi

Neste uke: Gjøre ferdig 12.2 (forholdstesten, rottesten). Fortsette med alternerende rekker (12.3), absolutt og betinget konvergens (12.4), starte med funksjonsfølger (12.5).

Foreleste forholdstesten og rottesten fra 12.2. Gjorde oppgavene 12.2.5: bcf.
Fortsatte med Alternerende rekker (12.3). Gjorde oppgave 12.3.6.

Absolutt og betinget konvergens (12.4). Viste at for en absolutt konvergent rekke kan leddene byttes om vilkårlig uten at dette endrer konvergensegenskapene eller summen. Den motsatte ytterlighet fremvises av betinget konvergente rekker: En slik kan manipuleres til å konvergere mot et hvilket som helst reelt tall ved et passende ombytte av leddene.
Fortsatte med rekker av funksjoner (12.5), viste Weierstrass's M-test.

Neste uke: Konvergens av potensrekker (12.6), regning med potensrekker (12.7).

Gikk først litt tilbake til 12.4 ved å gjøre oppgavene 1ef, 2c. Fortsatte med konvergens av potensrekker (12.6). Skrev opp Abels teorem (12.6.9) uten bevis.

Foreleste 12.7 "Regning med portensrekker". Gjorde oppgave 12.7.3. - Fant potensrekken for \(\frac{1}{(1+x)^2}\) på to måter: ved derivasjon av en geometrisk rekke og ved bruk av Cauchy-produktet (Setning 12.7.6). Beviset for Setning 12.7.6 ble utsatt til neste uke.

Neste uke: Taylor-rekker (12.8) og binomiske rekker (12.10).

Gjorde beviset for Setning 12.7.6 (Cauchy-produkt). Fortsatte med Taylor-rekker (12.8).

Mer Taylor-rekker (12.8), deretter binomiske rekker (12.10). Under behandlingen av Taylor-rekken for arcsin(x) skapte jeg litt usikkerhet rundt konvergensen i endepunktene. Svaret er at den konveergerer i begge endepunktene, slik jeg først antydet.

Neste uke: Vi skifter tema og og skal diskutere noen enkle numeriske metoder: Newtons metode (7.3) og numerisk integrasjon (8.7).

Gjennomgikk Newtons metode (7.3) og illustrerte med noen eksempler i Maple. Trakk linjene tilbake til babylonierne (ca. 1800-1500 f.Kr.) som beregnet kvadratroten av 2 med sju riktige desimaler. Babyloniernes metode er et spesielt tilfelle av Newtons metode. Gjorde oppgavene 7.3.2c) og 7.3.8a).
Fortsatte med numerisk integrasjon (8.7) og gjennomgikk trapesmetoden. Illustrerte med noen eksempler i Maple.

Numerisk integrasjon: Trapesmetoden og Simpsons metode (8.7). Brukte trapesmetoden på integralet \(\int_1^3\frac{dt}{t}\) til å vise at \(e<3\) (et faktum som ofte er blitt brukt, men aldri vist, i dette kurset).

Neste uke: Vi skifter tema igjen og går over til differensialligninger: Lineære førsteordens (10.3) og separable (10.4).

Eksistens og entydighet av løsning av 1. ordens lineær differensialligning med initialbetingelse (10.3). Gjorde oppgave 10.3.6 og 10.3.8.
Separable differensialligninger (10.4).Gjennomgikk eksempel 10.4.4.

Komplekse tall (3.1 - 3.3). Startet med annenordens homogene ligninger med konstante koeffisienter (10.5)

Neste uke: Fortsette med annenordens homogene ligninger med konstante koeffisienter (10.5). Starte med annenordens inhomogene ligninger (10.6).

Fortsatte med annenordens homogene ligninger med konstante koeffisienter (10.5), drøftet Tilfelle 1 (karakteristisk ligning har 2 forskjellige reelle røtter), og Tilfelle 2 (karakteristisk ligning har bare en rot).

Fortsatte med seksjon 10.5, drøftet Tilfelle 3 (karakteristisk ligning med komplekse røtter; siden differensialligningen har relle koeffisienter, vil komplekse røtter alltid opptre i konjugerte par). Viste hvordan de reelle løsningene bestemmes ut fra de komplekse løsningene. Startet med annenordens inhomogene ligninger (10.6).

Neste uke: Gjøre ferdig annenordens inhomogene ligninger (10.6). Deretter: Seksjon 12.9 (Potensrekker og differensialligninger) og Seksjon 10.8 (Numeriske løsninger av differensialligninger).

Gjorde en rekke eksempler med inhomogene ligninger som omfattet de fleste variantene. Gikk så over til "Potensrekker og differensialligninger" (12.9). Startet på oppgave 12.9.4 (fullføres i morgen).

Fullførte oppgave 12.9.4, gjorde også oppgave 12.9.9. Foreleste 10.8 (numeriske løsninger av differensialligninger), som er siste del av pensum (skal si litt mer om numeriske løsninger i neste uke).

Neste uke: Litt mer om numeriske løsninger (10.8). Starte repetisjon, gjennomgåelse av tidligere eksamensoppgaver.

Viste at å løse differensiallingingen \(y'=f(x)\) over et intervall \([a,b]\) med Eulers metode er ekvivalent med å approksimere \(\int_a^b f(x)\,dx\) med en venstre Riemann-sum, og at å løse den med Runge-Kuttas metode er ekvivalent med å approksimere \(\int_a^b f(x)\,dx\) med Simpsons metode.
Startet repetisjon og gjennomgåelse av tidligere eksamensoppgaver. Første sett ut: Kontinuasjonseksamen 2013.

Gjorde ferdig kontinuasjonseksamen 2013, startet med hovedeksamen 2013.

Neste uke: Gjøre ferdig hovedeksamen 2013, fortsette med to sett som mangler løsningsforslag: Kontinuasjonseksamen 2012 og 2011.

Gjorde ferdig hovedeksaemn 2013. Regnet et utvalg av oppgaver fra kontinuasjonseksamen 2012 og 2011, deriblant: Oppg. 1, 2, 3, 5 fra kont. 2012 og Oppg. 3, 4 fra kont. 2011. Onsdag 9. april var siste forelesning.