MA1102 Grunnkurs i analyse II – vår 2013

Øvinger

Det gis 12 øvinger. Du må levere og få godkjent 8 av dem for å få gå opp til eksamen.

Erfaringsmessig er det alltid noen som får problemer med å gjennomføre nok øvinger, av og til med god grunn som egen sykdom, alvorlig sykdom eller dødsfall i familien, og lignende. Hvis du ser at det kan bli vanskelig å klare kvoten, så ta kontakt med øvingslærer i god tid, så vi kan finne en ordning.

Øvingene skal bli lagt ut her senest onsdag ettermiddag eller kveld, for veiledning i uken etter. Innleveringsfrist blir kl 16 to dager etter dagen din gruppe har veiledning, men vi teller ikke lørdag og søndag. For første øving blir fristen for alle grupper tirsdag 29. januar.

Du kan sjekke hvor mange øvinger du har fått godkjent i øvingssystemet.

Øvingsoppgaver

Alltid med den ferskeste øverst.

Øving	Veiledningsuke	Oppgaver
13	–	«Amnestiøving» (pdf-fil) for de som mangler en øving. Ingen veiledning!
12	17	12.9: 4
		Løs Airys ligning \(y''-xy=0\) ved potensrekkemetoden. Hva er konvergensradien til rekkene du får?
		10.8: 2(a,b)
		Løs differensialligningen \(y'+x/y=0\) med initialbetingelsen \(y(0)=1\). Finn også tilnærminger til \(y(4/5)\) ved hjelp av Eulers metode og midtpunktsmetoden med steglengde \(1/5\), og sammenlign med den eksakte løsningen.
		Vis at integralet \[\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx\] konvergerer. Hint: Vis at \[\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx=(-1)^n\int_0^\pi\frac{\sin x}{n\pi+x}\,dx\] og summér for \(n=0,1,2,\ldots\).
		Vis at om \[a_n=\int_{n}^{n+1}\frac{dx}{x}-\frac{1}{n+1},\quad n=1,2,\ldots\quad\text{så er}\quad 0<a_n<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},\] og summen \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) konvergerer. Bruk dette til å vise at grensen \[\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n}-\ln n\Bigr)\] eksisterer. (Grensen kalles gjerne Eulers konstant, eller Eulers gamma. Den har verdien \(\gamma=0{,}57721\ldots\).)
11	16	3.1: 2(b,g,h), 6
		3.3: 2, 6
		10.5: 2(a,b,d), 6
		10.6: 2, 4
10	15	10.3: 2, 6, 10
		10.4: 10, 19 (En feil i oppgave 10: der det står \(\frac{dx}{dt} = bx^2 - ac - c\), skulle det vært \(\frac{dx}{dt} = bx^2 - ax - c\).)
–	14	Det var ikke øvingsveiledning i uken etter påske.
9	12	7.3: 2(b), 4, 8, 11
		Bruk trapesmetoden med fire delintervall til å finne en tilnærmet verdi for \[\int_0^{1/2} \frac1{\sqrt{1-t^4}}\,dt,\] og gi et overslag over feilen i tilnærmingen. Bruk Taylorrekken fra øving 8 til å regne ut integralet med tilsvarende nøyaktighet. Sammenlign resultatene.
		8.7: 8
8	11	12.7: 5, 9
		12.8: 1(a,b,c), 3(c,e,f), 11, 18
		12.10: 3 (fasiten i boken er gal)
		Finn Taylorrekken om \(0\) for \[f(x)=\int_0^x \frac1{\sqrt{1-t^4}}\,dt.\]
7	10	12.5: 2(b,c)
		12.6: 1(c,f,g,h), 2(f), 5
		12.7: 1(a,c), 2
		Bruk rekkeformelen for \(\arctan x\) i eksempel 12.7.5 til å uttrykke \[\int_0^1\frac{\arctan x}{x}\,dx\] som summen av en rekke, og regn ut verdien av integralet med to desimalers nøyaktighet. Ikke glem å begrunne det du gjør.
6	9	12.2: 15(a-c) utfordring: Ikke obligatorisk, men du kan bytte ut en annen oppgave med denne. Hint: Bruk induksjon i b). For c), merk at \(1-1/n=(n-1)/n\) og legg merke til hva som skjer når du multipliserer sammen disse for \(n=2,3,\ldots,m\).
		12.3: 1(a,b,h), 2(a,c), 3(b), 4
		12.4: 1(b,c,g), 2(d)
5	8	12.1: 4(a,f), 7, 10, 12 Oppgave 12 er ikke obligatorisk, men en utfordring: Du kan bytte ut en av de andre oppgavene med oppgave 12 om du vil. Oppgave 12.1.7 viser seg å være vrien om du bruker Lagranges restleddformel. Det går bra for \(-1\lt x\lt\frac12\), rett nok litt vrient for \(0\lt x\lt\frac12\) – men det går slett ikke bra for \(\frac12\le x\lt 1\). Det går meget bedre med integralformelen for restleddet – formel (5) på side 589; du kan vise at integranden går uniformt mot null når \(n\to\infty\).
		12.2: 2, 3(a,b,c,e,h), 10
4	7	Denne øvingen ble nok for stor, ja. Jeg har bedt stud.assene være liberale i rettingen. Levér det du har fått til når du synes du har holdt på lenge nok!
		11.3: 1, 2, 3, 8. Hint for oppgave 8: Bytt ut \(n\) i grensen med \(1/t\), slik at \(t\to0\). Ser du at grensen er den deriverte av en funksjon av \(t\) i \(0\)? (Skriv ett-tallet som \(x^0\).)
		11.4: 3, 5 (det er en fortegnsfeil i oppgave 5c)
		(IV.1) Anta at \(p\) og \(q\) er to polynomer av grad \(\le n\), og at \[p(x)=q(x)+r(x) \text{ der }\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{(x-a)^n}=0.\] Vis at \(p=q\). Hint: Merk at også \(r\) må være et polynom. Anta \(r\ne 0\), skriv \(r(x)=c_0+c_1(x-a)+\cdots+c _n(x-a)^n\), la \(k\) være første indeks der \(c_k\ne 0\), dividér med \((x-a)^k\), og se på grensen når \(x\to a\).
		(IV.2) Anta at \(f\) er \(n+1\) ganger kontinuerlig deriverbar, og at vi er gitt et polynom \(P\) av grad \(\le n\) slik at vi kan skrive \[f(x)=P(x)+R(x)\text{ der }\lim_{x\to a}\frac{R(x)}{(x-a)^n}=0.\] Vis at \(P\) er \(f\) sitt Taylorpolynom av orden \(n\) omkring \(a\). Hint: bruk (IV.1).
		(IV.3) Erstatt \(x\) med \(x^2\) i Taylors formel for eksponensialfunksjonen, og forklar kort hvordan dette gir deg Taylorpolynomet av orden \(2n\) for \(e^{x^2}\). Hint: Bruk (IV.2).
3	6	En ellipse med eksentrisitet \(\frac12\) har brennpunkter i \((0,0)\) og \((0,1)\). Finn ligningen for ellipsen i polarkoordinater.
		11.1: 2, 5, 6, 8
		11.2: 2, 9, 10, 15, 18
2	5	Som pdf-fil
1	4	Som pdf-fil