MA1102 Grunnkurs i analyse II – vår 2013

Snarvei til uke 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18

Åpningsforelesning. Bortsett fra diverse praktisk info som jeg ikke skal gjenta her (men som du vil finne rundt omkring i disse websidene etterhver), handlet det om kjeglesnitt.

Jeg baserer meg på et notat som er under utarbeidelse. Grovutkastet, versjon 0.2 inneholdt en kjedelig fortegnsfeil. Se lenke til senere versjoner nedenfor. Notatet er i A5-format. Hvis du ønsker å skrive det ut, kan det være lurt å skrive to sider per A4-ark. Men det blir garantert revidert fremover, så det er ikke sikkert du ønsker å skrive det ut ennå.

Mer som en digresjon viste jeg kort en versjon av Dandelins bevis for sammenhengen mellom kjeglesnitt som snitt av plan med en (dobbelt-)kjegle og kjeglesnitt gitt ved brennpunkt, styrelinje og eksentrisitet. Her er bildene jeg brukte i beviset (laget med asymptote, for den som vil vite det).

Vi fortsatte i kjeglesnittenes verden, og tok for meg hyperbler og parabler, og litt om generelle andregradskurver i planet. Notatet er kommet til versjon 0.3.

Avsnittene i notatet om kjeglesnitt i polarkoordinater, og om refleksjonsegenskapene, utstår til vi har fått noe generell teori om kurver i planet.

Vi startet på ekstrakapittelet til læreboken om parametriske kurver i planet. Se kursinfo-siden for en lenke til kapitlet. I et forsøk på å skremme forsamlingen viste jeg bilder av tilnærminger til en kurve som fyller et helt kvadrat! (Hilbertkurven. Jeg viste også en kurve med positivt areal. Vil du vite mer, så kan du se på en artikkel jeg skrev (pdf) om denne i Normat for noen år siden – ikke obligatorisk lesning!)

Litt mer om parametriske kurver: Om buelengde, med forklaring på definisjonen av buelengde for en kontinuerlig deriverbar parametrisert kurve. Videre om polarkoordinater og kurver i polarkoordinater, og buelengdeformelen for slike: Om en kurve er gitt i polarkoordinater ved formelen \(r=f(\theta)\), så kan vi skrive den om til en parametrisk kurve i kartesiske koordinater ved å benytte \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\): \[\mathbf{r}(t)=(f(\theta)\cos\theta,f(\theta)\sin\theta).\] Litt regning viser at buelengdeformelen blir \[ L(a,b)=\int_a^b\sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}\,d\theta. \] Som eksempel tok vi for oss kardioiden \(r=1-\cos\theta\), skisserte kurven og regnet ut lengden.

Notatet om kjeglesnittene er snart ferdig, nå i versjon 0.4.

Først tilbake til kjeglesnittene, med refleksjonsegenskapene og representasjon i polarkoordinater. (Notatet er nå kommet til versjon 1.0, og er i all hovedsak ferdig.)

Ekstra lesestoff – ikke pensum – for spesielt interesserte, spesielt fysikkstudenter: Satelittbaner er kjeglesnitt (to A5-sider for skjerm, satt sammen til én A4-side for utskrift).

Deretter startet vi på Taylor-polynomer, læreboken avsnitt 11.1. Jeg varmet opp med Taylorpolynomer av første og annen grad, illustrert med et eksempel i geogebra (her er en lenke til geogebra-programmet i tilfelle du er interessert). Jeg viste også noen høyere ordens Taylorpolynomer grafisk med Maple (vi har site-lisens på Maple for studenter og ansatte).

Mer om Taylor-polynomer, og videre til Taylors formel med restledd, avsnitt 11.2 (med et par slides, mest for oversiktens skyld). Eksemplet til sist, Taylorpolynom for $\ln x$ om $x=1$, kom delvis på overtid og ble ikke helt rett.

Ble ferdig med Taylorpolynomer, spesielt eksempel 11.2.5, som må forstås for ukens øvinger – og 11.2.6. Deretter fortsatte vi inn i avsnitt 11.3 om punktvis og uniform konvergens av funksjonsfølger. Vi avsluttet med beviset for at en uniform grense av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig (teorem 11.3.8). Men før det tok vi et eksempel som viste at en punktvis grense av kontinuerlige funksjoner ikke trenger være kontinuerlig: Eksemplet var \(f_n(x)=\operatorname{atan}(nx)\) – en «glattere» variant av eksempel 11.3.4 i boken, med samme grensefunksjon.

Litt mer om uniform konvergens: Jeg vise at Taylorrekken til eksponensialfunksjonen konvergerer uniformt mot \(e^x\) på ethvert begrenset intervall $[-M,M]$, men ikke på hele tallinjen. Så starter vi på avsnitt 11.4 om integrasjon og derivasjon av funksjonsfølger.

Vi startet på kapittel 12, om rekker. Vi kommer til å bruke mye tid og energi på dette stoffet.

Avsnitt 12.1 med grunnleggende definisjoner, divergenstesten, harmonisk og geometrisk rekke, enkle regneregler (sum og differans mellom rekker, multiplikasjon med konstant).

Positive rekker, det vil si rekker med positive ledd. Hovedpoenget er at slike rekker alltid enten konvergerer eller divergerer mot \(\infty\), så det er faktisk ok å skrive \(\sum_{n=1}^\infty a_n\lt\infty\) i stedet for å skrive at rekken konvergerer. Du må ikke bruke denne kortformen på rekker som ikke er positive! Ved en teknikk analog med bokens bevis for at den harmoniske rekken divergerer, viste jeg at \(\sum_{n=1}^\infty 1/n^p\lt\infty\) når \(p\gt1\). Så gjorde vi det igjen, men med integraltesten. Endelig gjennomgikk jeg sammenligningstesten og tok et par eksempler.

Fortsatt om positive rekker: Grensesammenligning, og forholds- og rottesten. De to siste baserer seg på sammenligning med geometrisk rekke – virkemåten er nokså enkel å forstå, selv om et rigorøst bevis krever et ekstra triks.

Jeg startet også på avsnitt 12.3 om alternerende rekker.

Litt repetisjon om alternerende rekker, med ekstra vekt på feilestimatet, basert på at to delsummer etter hverandre alltid ligger på hver sin side av den totale summen (når betingelsene i konvergenstesten for alternerende rekker er oppfylt).

Deretter avsnitt 12.4 om absolutt og betinget konvergens, og det lett sjokkerende eksemplet \[ \begin{aligned} s&=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\cdots,\\ s'&=1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\frac17-\frac1{14}-\cdots\\ &=\Bigl(1-\frac12\Bigr)-\frac14+\Bigl(\frac13-\frac16\Bigr)-\frac18+\Bigl(\frac15-\frac1{10}\Bigr)-\frac1{12}+\Bigl(\frac17-\frac1{14}\Bigr)-\cdots\\ &=\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac1{10}-\frac1{12}+\frac1{14}-\cdots\\ &=\frac s2 \end{aligned} \] til tross for at de to summene \(s\) og \(s'\) har akkurat de samme leddene, bare i forskjellig rekkefølge. Alle betinget konvergente følger har denne egenskapen, at summen kan bli hva du vil om du bare bytter rundt på leddene. Eller den kan bli \(\pm\infty\), eller den kan divergere på enda verre vis. Absolutt konvergente rekker, derimot, har samme sum uansett rekkefølge, fordi summen av en positiv rekke også kan skrives som \[ \sum_{n=0}^\infty a_n=\sup\bigl\{\,\sum_{n\in E} a_n : E\subset\{0,1,2,3,\ldots\}\text{ og $E$ er endelig}\,\bigr\}, \] og uttrykket på høyresiden er helt uavhengig av ordningsrekkefølgen.

(Jeg har tatt dette litt overfladisk, for det blir ikke en sentral del av pensum. Regn det som kursorisk.)

Til sist startet jeg så vidt på avsnitt 12.5 om rekker av funksjoner. Jeg skrev opp Weierstraß' M-test og anvendte den på et par eksempler.

Mer om Weierstraß' M-test, så videre til avsnitt 12.6 om konvergens av potensrekker, og 12.7 om regning med potensrekker.

Mer fra 12.7 – om produkt av rekker generelt, og potensrekker spesielt. Deretter 12.8 om Taylorrekker.

12.10 om binomiske rekker, altså Taylorrekken for \(f(x)=(1+x)^\alpha\). Taylorrekken er lett nok å regne ut, men det er adskillig verre å vise at den konvergerer mot rett sum ved å bruke restleddet i Taylors formel. I stedet viste vi at rekken konvergerer i \((-1,1)\), deretter viste vi at summen oppfyller samme differensialligning som \(f(x)\), og til sist viste vi at det måtte bety at summen var lik \(f(x)\). En omvei, kan det se ut som, men effektivt.

Vi tar ferie fra potensrekkene og begynner på litt enkel numerikk. Eller numeriske metoder som det heter mer generelt – altså hvordan beregne numeriske verdier for størrelser vi vet eksisterer matematisk, men som kan kreve spesielle verktøy for en effektiv utregning. Vi har alt sett noen eksempler fra rekkenes verden, men nå tar vi fatt på andre metoder.

Først ute: Newtons metode (avsnitt 7.3), deretter numerisk integrasjon (avsnitt 8.7).

Jeg avviker litt fra boken og starter med en enkel iterativ metode for ligningsløsning: Det dreier seg om ligninger på formen \[f(x)=x\] for en funksjon \(f\). En løsning til en slik ligning kalles et fikspunkt for \(f\), og en naturlig måte å finne en tilnærmet løsning på kalles iterasjon: Vi velger en verdi \(x_0\), forhåpentligvis i nærheten av et riktig fikspunkt, og forsøker så å finne suksessivt bedre tilnærminger ved å sette \[x_{n+1}=f(x_n),\qquad n=0,1,2,\ldots\] Dersom følgen konvergerer mot en grense \(x_*\), er det ikke vanskelig å se at \(f(x_*)=x_*\), forutsatt at \(f\) er kontinuerlig. Vi skal se at vi må ha \(\lvert f'(x)\rvert<c\) for \(x\) i nærheten av fikspunktet, der \(c<1\) er konstant, for å kunne garantere at følgen konvergerer.

Deretter tar vi fatt på Newtons metode, som gir raskere konvergens. Men analysen av fikspunktiterasjon vil være til nytte for å forstå hvordan.

Mest numerisk integrasjon (avsnitt 8.7).

Litt om eksistens og entydighet for ordinære differensialligninger.

Differensialligninger: Lineære førsteordens (avsnitt 10.3) og separable (10.4).

Jeg ligger visst lenger bak enn noen sinne med å oppdatere sidene. Her er en adspredelse mens du venter, relevant for dagens forelesning (hentet fra xkcd):

Men forelesningen handlet om komplekse tall. Jeg ga en geometrisk tolkning som motivasjon, med henvisning til Caspar Wessel, som først gjorde dette i 1799. Jeg endte med den komplekse eksponentialfunksjonen, der jeg rettferdiggjorde formelen \[e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\qquad\text{for }x, y\in\mathbb{R}\] på to måter – ved hjelp av differensialligningen som \(e^{iy}\) oppfyller, og ved hjelp av den vanlige Taylorrekken for \(e^{x}\) anvendt i stedet på \(e^{iy}\).

Etter forrige ukes lyninnføring i komplekse tall og den komplekse eksponentialfunksjonen, tar vi nå for oss annenordens lineære differensialligninger – først de homogene (avsnitt 10.5).

Jeg regnet først et eksempel fra mandagens stoff, og gikk deretter i gang med avsnitt 10.6 om inhomogene annenordens lineære differensialligninger.

Planen er først å regne et eksempel: Løse differensialligningen \(y''+2y'+5y=\sin x\). Vi løste den tilsvarende homogene ligningen \(y''+2y'+5y=0\) i forrige uke, og skal benytte oss av den løsningen.

Deretter tar vi spranget til avsnitt 12.9 og løser en differensiallligning ved hjelp av potensrekker. Jeg vil ta et litt annet eksempel enn i boken, og løse Hermite-ligningen \(y''-2xy'+2\lambda y=0\).

Fra avsnitt 10.8 om numerisk løsning av differensialligninger: Primært Euler og midtpunktmetoden. Jeg presenterte Runge–Kutta (RK4), men jeg venter primært at dere skal vite at den finnes og hva det vil si at den er en fjerde ordens metode. Jeg gjorde et lite poeng ut av at å bruke RK4 til å løse en ligning på formen \(y'=f(x)\) er ekvivalent med å integrere \(f\) med Simpsons metode.

Hvis notatene mine er til å stole på, var det også denne dagen jeg viste hvordan man kan finne Fibonaccitallene ved hjelp av en genererende funksjon: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{F_n}{n!}x^n\] der \(F_0=F_1=1\) og \(F_{n+2}=F_n+f_{n+1}\) for \(n=0,1,2,\ldots\). Det viser seg at \(f\) løser lingningen \(f''-f'-f=0\) med \(f(0)=f'(0)=1\). Denne ligningen kan vi løse, og så ta Taylorrekken til løsningen og sammenligne koeffisienter for å finne \(F_n\). Jeg tror jeg rotet litt på slutten av regningen, men det viktige var å få frem idéen.

Om delvis summasjon som en analog til delvis integrasjon. Hovedidéen kan beskrives slik: \[a_nb_n-a_0b_0 =\sum_{k=1}^n(a_kb_k-a_{k-1}b_{k-1}) =\sum_{k=1}^na_k(b_k-b_{k-1}) +\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})b_{k-1}\] helt analogt med uledningen av formelen for delvis integrasjon \[f(b)g(b)-f(a)g(a)=\int_a^b(fg)´(x)\,dx=\int_a^b f(x)g'(x)\,dx+\int_a^b f'(x)g(x)\,dx.\] Et teknisk problem er at formelen for delvis summasjon ikke har den samme symmetrien som formelen for delvis integrasjon, så formelen er både vanskeligere å huske og å bruke. I praksis er det best å gjøre utregningen hver gang man skal bruke den. Jeg illustrerte med å bevise Dirichlets konvergenstest (oppgave 12.4.7) og Abels teorem (avsnitt 12.6).

Starter oppsummeringen av pensum.

Siste forelesning.