MA1102 våren 2012: Forelesninger

Denne siden er for notater i forkant og etterkant av forelesningene. (Hopp til forrige uke)

Fra 17.3: Oppsummering av Euler og forbedret Euler, og så litt om Runge–Kutta. Deretter om homogene ligninger fra 17.2 (her betyr «homogen» noe annet enn når vi snakker om lineære differensialligninger), og så er vi kommet gjennom pensum.

Vi starter på oppsummering med oppgaveregning, i en eller annen blanding.

Mandagsforelesningen blir siste forelesning. Innholdet blir mer av samme sort som sist torsdag.

Litt generelt om opplegget (som du forhåpentligvis kan finne på disse websidene) og litt generell innledning. Det faglige innholdet starter med kurver i planet, blant annet av hensyn til de mange som tar MA1103 samtidig. Der får man nemlig bruk for kurver i rommet (tre dimensjoner), og da er det kjekt å ha sett dem litt i planet først. Stoffet er hentet fra avsnittene 8.2 og 8.3 i boken. Etter en del om og men endte vi med disse definisjonene (lett omskrevet i forhold til versjonene på forelesningen):

En parametrisk kurve er gitt ved to kontinuerlige funksjoner \(f\) og \(g\) definert på samme intervall \(I\): \(x=f(t)\), \(y=g(t)\) når \(t\in I\). Mer presist tolket så vil hver \(t\in I\) gi et punkt \((x,y)=(f(t),g(t))\). Det kan lønne seg å tenke på paret \(f,g\) av reelle funksjoner som én funksjon fra intervallet \(I\) til planet.

Denne parametriske kurven kalles glatt dersom komponentfunksjonene \(f\) og \(g\) er kontinuerlig deriverbare, og dessuten \(f'(t)\) og \(g'(t)\) aldri er null samtidig for noen verdi av \(t\).

Jeg illustrerte med noe enkel grafikk skrevet i javascript. Jeg har samlet disse på en egen side.

(En funksjon er kontinuerlig deriverbar om den er deriverbar overalt, og den deriverte er en kontinuerlig funksjon. \(f(t)=t^2\sin(1/t)\) når \(t\ne0\), \(f(0)=0\) er et klassisk eksempel på en funksjon som er deriverbar overalt, men ikke kontinuerlig deriverbar.\)

Et eksempel på en kurve som fyller et helt kvadrat ble først funnet av Peano. Jeg viste noen tilnærminger til en variant av en slike kurve, funnet av Hilbert.

(Slides med oversikt over noen av dagens temaer.) Mer om glatte kurver: En glatt kurve kan settes sammen av (overlappende) biter som hver er grafen til en funksjon, enten på formen \(y=G(x)\) eller på formen \(x=F(Y)\). En basisteknikk består i å konvertere mellom deriverte med hensyn på parameteren og deriverte med hensyn på \(x\) eller \(y\) ved hjelp av kjerneregelen, typisk skrevet på differensiell form: \[\frac{d}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\] Alt dette illustrert med kurven \(x=t^3-3t\), \(y=t^2\) (eksempel 4 på side 477).

Jeg endte med en kortversjon av beregning av buelengde (starten på avsnitt 8.3).

Avsnitt 8.4–8.6: Mer om buelengder, arealberegning av rotasjonsflater (når en parametrisk kurve roteres om en akse), arealberegninger for områder omgitt av en parametrisk kurve. Deretter kurver gitt i polarkoordinater som en funksjon \(r=f(θ)\), med diverse eksempler. (Jeg brukte litt javascript in en webside for å illustrere – jeg har flikke litt på denne og lagt den ut.) Videre om hvordan man finner tangenten til en kurve gitt i polarkoordinater, og om arealberegninger i polarkoordinater.

Jeg regnet eksempel 3 i avsnitt 8.6 (side 491). Deretter gikk jeg løs på avsnitt 4.9 om lineær tilnærming – men først introduserte jeg «liten o»-notasjon og forklarte litt om hva deriverbarhet betyr uttrykt i slik notasjon. Se også slides (jeg kommer til å bruke samme fil på torsdag, men det kan komme tillegg og endringer).

En forenklet utgave av definisjonen av liten o: \(f(x)=o(u(x))\) når \(x\to a\) er det samme som at \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{u(x)}=0,\] i hvert fall når \(u(x)\ne0\) for alle \(x\ne a\) i en omegn om \(a\).

Jeg har også så vidt antydet eksistensen av kvadratisk tilnærming. Mer om dette på torsdag.

Jeg har brukt noen geogebra-eksempler, her for de som måtte være interessert: linearisering, glatt men svingete, kvadratisk.

Kvadratisk tilnærming, «stor O»-notasjon, Taylor-polynom og Taylors formel (4.10). Ukens slides (også brukt på mandag) er nå oppdatert. Jeg benyttet også et Maple-regneark for å illustrere noen Maclaurin-polynomer. Jeg legger det ved for de som er interessert; men du trenger på ingen måte lære deg Maple for dette emnet! Hvis du skulle være interessert i å bruke Maple, kan du installere den på din egen maskin. Kontakt Orakeltjenesten om du vil det.

Hovedtema er numerisk løsning av ligninger med én ukjent, eller om du vil, å finne nullpunkter til en funksjon av én variabel. Avsnitt 4.2: Fikspunktiterasjon, Newtons metode.

Tre temaer: Først en repetisjon og delvis utdyping av stoffet fra mandag, med slides – og med noen tips om bruk av eksamenskalkulatoren til iterative beregninger. Dernest litt mer om Taylorpolynomer, se siste slide i filen fra forrige uke (i oppdatert utgave). Til sist litt om hvordan vi definerer eksponential- og logaritmefunksjoner (slides). Til det siste temaet hører også mer utførlige notater (også tilgjengelig under Ressurser).

Vi tar til med følger og rekker (kapittel 9), som er en stor del av dette emnet.

Vi startet med følger (9.1). Jeg gjorde et poeng av kompletthetsaksiomet for reelle tall, som har som konsekvens at enhver monoton, begrenset følge er konvergent (faktisk er dette ekvivalent med kompletthetsaksiomet). En anne måte å si det samme på er at enhver monoton følge har en grense: Enten et reelt tall (så følgen er konvergent), eller så er den \(±∞\) (så følgen divergerer mot denne verdien). Det er også verdt å vite at de reelle tall kan bygges opp ved hjelp av rasjonale tall. Det finnes flere slike konstruksjoner, men de leder alle til essensielt samme sak.

Grunnleggende teori om rekker (9.2), konvergens og divergens. Jeg regnet ut summen av en generell geometrisk rekke, og viste at den harmoniske rekken divergerer: \[\sum_{n=1}^∞ \frac1n=∞.\]

Vi fortsetter med konvergenstester for positive rekker (9.3). I bunnen ligger setningen om at en monoton følge alltid har en grense (endelig eller uendelig): Da gjelder det samme for summen av en positiv rekke, siden delsummene av en positiv rekke danner en monotont voksende følge (slides).

Vi tok opp et tema fra 9.3 som jeg hoppet over mandag, nemlig å få bedre tilnærminger til uendelige summer ved integraler (side 512–513). Min tilnærming var litt annerledes enn den i læreboken, men leder til et tilsvarende resultat:

Ved samme situasjon som i boken ($a_n=f(n)$, $f$ positiv og avtagende) får vi \[\sum_{k=n+1}^\infty a_k\le\int_n^\infty f(x)\,dx\le\sum_{k=n}^\infty a_k\] ved å se på oversummer og undersummer for integralet. Med bokens notasjon skriver vi dette som \(s-s_n\le A_n\le s-s_{n-1}\), og dette i sin tur kan omorganiseres til \[s_{n-1}+A_n\le s\le s_{n}+A_n.\] Det er naturlig å ta middelverdien av de to yttersidene som et estimat for summen. Når vi husker på at \(s_n=s_{n-1}+a_n\), gir det \[\bar s_n=s_{n-1}+\tfrac12a_n+A_n,\qquad |s-\bar s_n|\le\tfrac12a_n.\] (Jeg foretrekker denne varianten foran bokens fordi det ofte gir litt enklere regning.)

Deretter kastet vi oss ut i 9.4, om absolutt og betinget konvergens (slides).

Etter en oppsummering startet jeg med å se på et eksempel på hvordan en omarrangering av leddene i en rekke med bare positive ledd ikke endrer på summen. Eksemplet var \[ 1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}+\frac1{6^2}+\frac1{7^2}+\cdots =1+\frac1{2^2}+\frac1{4^2}+\frac1{3^2}+\frac1{6^2}+\frac1{5^2}+\frac1{8^2}+\cdots. \] Her er nevneren i annenhver brøk på høyresiden et primtall kvadrert (alle er med, i rett rekkefølge), og i de gjenværende brøkene er nevneren et sammensatt tall (også i rekkefølge). Poenget var at enhver delsum på den ene siden er mindre enn en delsum på den andre siden, og dermed mindre enn den totale summen. Så den totale summen av hver side er også mindre enn eller lik den totale summen på den motsatte siden.

Og så kan en absolutt konvergent rekke skrives som en differens mellom to konvergente, positive rekker, så resultatet holder for dem og.

Vi gikk så løs på potensrekker (9.5), og viste eksistensen av konvergensradien for en slik rekke. Hoved poenget her var at dersom \(u>0\) og følgen \((|a_n|\cdot u^n)\) er begrenset, og hvis \(|x|<u\), så konvergerer \(\sum a_nx^n\) absolutt, ved sammenligning med en potensrekke med faktor \(|x|/u\).

Tema videre: Algebraiske manipulasjoner (sum og Cauchyprodukt), leddvis derivasjon og integrasjon med eksempel på anvendelser, Abels teorem.

Jeg forberedte grunnen for en diskusjon om absolutt konvergens ved å se på dette eksemplet: \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^1 n^2x^n(1-x)\,dx&=1,\\ \lim_{n\to\infty} n^2x^n(1-x)&=0 \end{aligned} \] (som du lett kan verifisere selv). Hvordan kan disse to grensene begge være riktige? Et delvis svar får vi ved å finne bestemme maksimumsverdien til funksjonen for \(x\in[0,1]\). Den har maksimum i \(x=n/(n+1)\), og maksimumsverdien går mot uendelig når \(n\to\infty\): Faktisk er den i størrelsesorden \(n/e\) når \(n\) er stor. Men maksimum oppstår i en veldig smal topp; i størstedelen av \([0,1]\) blir verdien nær null. Dette er den rake motsetning til uniform konvergens, som er begrepet vi trenger for å rydde opp og for å kunne vite at potensrekker kan integreres leddvis.

Jeg kom ikke så langt som jeg hadde håpet i forrige uke.

Vi startet uken med å diskutere uniform konvergens etter notatet Integrasjon og derivasjon av potensrekker, og uniform konvergens av Per Hag. Men i stedet for å følge notatet slavisk, har jeg valgt min egen tilnærming, blant annet ved å se på et antall konkrete eksempler, ikke minst funksjonsfølgen \((f_n)\) gitt ved \(f_n(x)=n^2x^n(1-x)\) for \(x\in[0,1]\); se animasjonen til høyre. Funksjonsfølgen går mot null punktvis, men \(\int_0^1 f_n(x)\,dx\to1\) når \(n\to\infty\).

Dagens slides dekker definisjonene av punktvis og uniform konvergens, og hovedteoremet om uniform konvergens av kontinuerlige funksjoner, pluss anvendelsen av dette på leddvis integrasjon (og dermed også derivasjon) av potensrekker. Til sist litt om Taylor- og Maclaurinrekker, analytiske funksjoner, og en liste over noen av de mest brukte Maclaurinrekkene.

Vi gjorde oss ferdig med avsnittene 9.6 og 9.7.

Jeg har fått en mail fra en student: «Denne spillelisten (youtube) har hjulpet meg veldig, kanskje et tips til andre?». Tipset bringes herved videre. Jeg tør ikke si noe om kvaliteten. Jeg kikket raskt på en av dem, og lydkvaliteten var rent ut sagt grusom, men det faglige innholdet virket i og for seg greit nok. Det var langt fra noen profesjonell produksjon, men hvis noen har nytte av det, så hvorfor ikke?

Fra avsnitt 9.8 om binomialrekker. Vel så viktig som selve rekkene er det utvalget av teknikker vi brukte for å vise konvergens mot rett verdi: Det kokte ned til at vi fant en positiv konvergensradius, og rekken oppfyller en differensialligning som bestemmer summen entydig (sammen med en initialverdi).

Peter Lindqvist vikarierer, om Fourierrekker (avsnitt 9.9). Klikk på bildene under for å se dem i full størrelse (illustrasjon av Gibbs' fenomen).

Komplekse tall og Eulers formel (notat).

Vi gjorde oss ferdig med temaet fra mandag, og begynte på 17.7 (løsning av differensialligninger med potensrekker): Mesteparten av tiden gikk til å løse Hermites ligning.

Ferdig med avsnitt 17.7 om løsning av en annenordens lineær ligning med variable koeffisienter: For ordinære punkter viste jeg at man generelt kan finne en potensrekke som passer i ligningen. De to første koeffisientene (\(a_0\) og \(a_1\)) kan velges fritt, resten finnes rekursivt. Så tok jeg for meg regulære singulære punkter. Løsningsmetoden kalles Frobenius' metode, og benytter en ekstra parameter \(\mu\) som må velges slik at den passer i indikatorligningen (min oversettelse av indicial equation). Til sist løste vi Bessels ligning som et eksempel (slides).

Startet med numerisk integrasjon, avsnitt 6.6: Trapes- og midtpunktsregelen for numerisk integrasjon.

Mer numerisk integrasjon: 6.6 og 6.7, spesielt Simpsons metode.

Over på differensialligninger: Avsnitt 7.9 om separable – men mest om lineære førsteordens differensialligninger med variable koeffisienter.

Påskeferie.

Fortsatt påskeferie.

Mer differensialligninger: Utvalgt stoff fra 17.1–3, mest 17.3. (Vi tar veldig lett på 17.1, og i 17.2 stopper vi før eksakte ligninger, så dette er mindre enn det ser ut til.) Jeg vil ta med litt teori om eksistens og entydighet, og har skrevet et notat om det. (Notatet blir kursorisk pensum.)

I virkeligheten ble det bare stoff fra notatet, minus det aller meste av eksistensbeviset – pluss Eulers metode og forbedret Euler. Jeg illustrerte med ligningen \(y'=-2xy^2\), initialdata \(y(0)=1\), med eksakt løsning \(y=(1+x^2)^{-1}\). Et mapledokument og et regneark ble brukt. (Regnearket bruker en makro til å definere høyresiden $f$, så du må tillate det i libreoffice/openoffice.)

Jeg tok med litt ekstra om feilestimater for disse metodene.

Først for Euler: Feilestimatet baserer seg på en enkel bruk av Taylors formel med restledd \[y(x+h)=y(x)+hy'(x)+O(h^2)=y(x)+hf(x,y)+O(h^2),\] hvor \(y(x)+hf(x,y)\) representerer ett trinn med Eulers metode, så feilen er \(O(h^2)\) for ett trinn. Skal du regne ut verdien i et fast punkt, så er antall trinn for å komme dit proporsjonalt med \(h^{-1}\), så de lokale feilene akkumulerer seg til en global feil \(O(h^{-1})\cdot O(h^2)=O(h)\). Med andre ord, man får et feilestimat som er proporsjonalt med \(h\).

Å gjøre det samme for forbedret Euler er litt mer infløkt. Vi benytter Taylors formel fra begge ender av intervallet \([x,x+h]\) og får \[\begin{aligned} y(x+h)&=y(x)+hy'(x)+\tfrac12h^2y''(x)+O(h^3)\\ y(x)&=y(x+h)-hy'(x+h)+\tfrac12h^2y''(x+h)+O(h^3)\\ y(x+h)&=y(x)+hy'(x+h)-\tfrac12h^2y''(x+h)+O(h^3) \end{aligned}\] der den tredje linjen er bare den andre linjen med leddene flyttet rundt. Middelverdien av første og tredje linje gir \[ y(x+h)=y(x)+\frac h2(y'(x)+y'(x+h))+\frac{h^2}4(y''(x)-y''(x+h))+O(h^3) \] Men om \(y\) er tre ganger kontinuerlig deriverbar så er \(y''(x)-y''(x+h)=O(h)\), så hele leddet (etter multiplikasjon med \(h^2\) absorberes av \(O(h^3)\), og vi ender med \[ y(x+h)=y(x)+\frac h2(f(x,y(x))+f(x+h,y(x+h)))+O(h^3) \] etter å ha satt inn i differentialligningen. Dette er forbedret Euler dersom vi erstatter \(y(x+h)\) med \(y(x)+hf(x,y(x))\), og vi så ovenfor at dét gir en feil \(O(h^2)\). Vi ender med at forbedret Euler har en feil \(O(h^3)\) i hvert trinn, som gir en feil \(O(h^2)\) globalt.

(Pauseunderhodning: Eagle cam.)