Forelesningslog MA1101, 2008h

Her finner du en kort oversikt over hva som blir gjennomgått i forelesningene. Informasjonen blir lagt ut noen dager i forkant av forelesningsøkten, slik at du har mulighet til å møte forberedt. Merk at dette ikke er noen fullstendig oversikt, og at planen ikke alltid vil stemme overens med gjennomføringen ;)

Velkommen til kurset!
Praktisk informasjon.
Vi starter med kapitlene P1 og P2 (Preliminaries); Egenskaper ved de reelle tall, litt om likninger, ulikheter og absoluttverdi, og litt om det kartesiske koordinatsystemet.

P3 og P4; Generelt om funksjoner, sentrale egenskaper ved spesielle funksjoner og deres grafer.

Vi rakk ikke så mye om funksjoner sist, så vi forsøker igjen! Generelt om funksjoner, sentrale egenskaper ved spesielle funksjoner og deres grafer, hvordan flytter vi en graf rundt i koordinatsystemet? Hvordan lager vi sammensatte funksjoner. Vi er nå i delkapitlene P3, P4 og P5.

Planen er å gå gjennom de to siste P-delkapitlene; P6 om polynomer og polynomdivisjon (frisk opp for deg selv hvordan du dividerer to tall på hverandre - uten bruk av kalkulator), og P7 om de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens.
Hvis vi har tid til overs vil vi introdusere begrepet grenseverdi, både den uformelle definisjonen i kap. 1.2 og den formelle definisjonen i kap. 1.5.

Grensebegrepet; vi ser på både den uformelle definisjonen (kap. 1.2) og den formelle definisjonen (kap. 1.5). Vi vil bevise minst en av regnereglene for grenseverdier ved hjelp av den formelle definisjonen.

Planen er å se på klemme/skvise-teoremt i kap. 1.2, grenser og uendelighet i kap. 1.3, og sammenhengen mellom grenser og kontinuitet i kap. 1.4. Vi vil forsøke å venne oss til den formelle definisjonen av grenesverdi.

Litt om kontinuerlige funksjoner; spesielt ekstremalverdisetningen (maks-min-teoremet) og mellomverdisetningen i kap. 1.4. Derretter tangentlinjer og definisjonen av den deriverte (kap. 2.1 og 2.2).

Mer om derivasjon; vi bruker definisjonen av den deriverte til å bevise noen derivasjonsregler. Merk dere produktregelen, brøkregelen og særlig kjerneregelen for derivasjon (kap. 2.3 og 2.4). Tren på derivasjonsoppgaver dersom det er lenge siden du har holdt på med dette :)

Kap. 2.5; derivasjon av trigonometriske funskjoner. Merk dere grenseverdien av (sin(x)/x) når x går mot 0 som vi gjennomgikk sist. Videre ser vi på sekantsetningen (Mean-Value Theorem) i kap. 2.6. Hvis vi rekker tar vi med noe om bruk av den deriverte fra kap. 2.7 og 2.11.

Vi ser på induksjonsbevis (som det står om i margen på side 108), før vi ser på høyere ordens deriverte (kap. 2.8). Det blir også noen eksempler fra kap. 2.11.

Implisitt derivasjon (kap. 2.9) behandles, før vi går over til å snakke om inverse funksjoner (kap. 3.1).

Vi fortsetter med inverse funskjoner, og ser spesielt på de inverse trigonometriske funskjonene (kaap. 3.5).

Tema for dagen er eksponential- og logaritmefunskjoner generelt (kap. 3.2) og den naturlige eksponential- og logaritmefunskjonen spesielt (kap. 3.3).

Vi forsøker å komme oss fra den naturlige logaritmefunksjonen til en eksponentialfunksjon (kap. 3.3), før vi ser på noen anvendelser (kap. 3.4).

Repetisjon i forkant av midtsemesterprøven.

Midtsemesterprøve. Se informasjon på hovedsiden.

Vi skal se på noen anvendelser av derivasjon. Først ut er l'Hopitals regel for grenseberegninger (kap. 4.9) og koblede hastigheter (kap. 4.1).

Grafdrøfting; det vil si å finne maks.- og min.punkt, vendepunkt og asymptoter (kap. 4.2, 4.3 og 4.4).

Første tema er lineær approksimering av funksjoner (kap. 4.7). Derretter starter vi med det neste hovedtemaet, nemlig integrasjon. Vi vil innføre integralet ved hjelp av arealbetraktninger og Riemansummer, det kan være greit å kikke gjennom både 5.1-5.3 og Appendiks IV.

Sentrale basisegenskaper ved bestemte integral (kap. 5.4).

Vi skal se på Analysens fundamentalteorem (5.5), som gir koblingen mellom integrasjon og derivasjon, før vi lærer en integrasjonsteknikk basert på substitusjon (dvs bytte av variable) (5.6).

Integrasjonsteknikker; dvs integrasjon ved substitusjon (5.6) og delvis integrasjon (6.1).

Mer integrasjonsteknikk; inverse (trigonometriske) substitusjoner (6.2) og delbrøkoppspalting (6.3).

Uegentlige integral (6.5). Anvendelse av integral for å finne volum (7.1) og muligens også buelengde og areal (7.3).

Lineære differensiallikninger av første orden (7.9) og annenordens, homogene lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter (3.7).

Annenordens, inhomogene lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter (17.6), og føresteordens (ikke-lineære) separable differensiallikninger (7.9).

Fler eksempler på førsteordens separable differensiallikninger. Initialverdiproblemer. Noen uoppstilte differensiallikninger.

Siste forelesningsdag! Oppgaveregning/repetisjon.

Med mindre det kommer inn andre ønsker vil jeg regne/gjennomgå oppgaver fra eksamen høst -07, samt oppgave 5 eksamen vår -06 og oppgave 5 vår -07 (epsilon-delta-oppgaver, etter ønske).