Øving 5

Oppgavene under er hentet fra læreboken i faget.

Merk: med x.y.z mener vi oppgave z i seksjon x.y, hvis det skulle være tvil.

• 3.1.30
• 3.1.41
• 3.1.49
• 3.1.53
• 3.2.4
• 3.2.5
• 3.2.8
• 3.2.13 (med "the floor function" menes funksjonen som runder ned til nærmeste heltall).

Oppgaver som ikke er hentet fra boken:

1. La <jsm>a_n</jsm> være rekursivt definert ved <jsm>a_n = a_{(n-1)}/5 + 4/5</jsm>. Vis at dersom <jsm>a_0=2</jsm>, så er <jsm>a_n = (5^{n} +1)/5^n</jsm> (hint: bevis ved induksjon).
2. Finnes grenseverdien <jsm>\lim_{x\rightarrow 0} 1/x</jsm>? Begrunn svaret!
3. På side 106 forteller læreboken om en del funksjoner som er kontinuerlige, men dette vises ikke formelt. I lys av kapittel 3.6, som introduserer formell behandling av grenseverdier, vis at følgende klasser av funksjoner (<jsm>\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</jsm>) er kontinuerlige i alle punkter: A: Konstante funksjoner (<jsm>f(x)=a</jsm> for en konstant <jsm>a\in\mathbb{R}</jsm>). B: Lineære funksjoner (<jsm>f(x)=ax</jsm> for en konstant <jsm>a\in\mathbb{R}</jsm>). C: Andregradspolynomer (<jsm>f(x)=ax^2+b</jsm> for konstanter <jsm>a,b\in\mathbb{R}</jsm>).