\documentclass[11pt, a4paper, english, norsk]{NTNUlf} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amssymb} \newcommand{\Z}[0]{\mathbb Z} \newcommand{\Zp}[0]{\mathbb Z^+} \newcommand{\Q}[0]{\mathbb Q} \newcommand{\R}[0]{\mathbb R} \newcommand{\C}[0]{\mathbb C} \DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator*{\im}{Im} \ovingnr{9}%NB \semester{Vår 2018} \fag{MA2201/TMA4150} \institutt{Institutt for matematiske fag} \begin{document} Med forbehold om feil. Gi gjerne beskjed til mads.sandoy alfakrøll ntnu.no hvis en finner noen. \textbf{Seksjon 20} \begin{oppgave}[2] Her er nok det enkleste å prøve seg fram med ulike elementer i mengden av enheter i \(\Z_{11}\). Generatorene er 2, 6, 7 og 8. \end{oppgave} \begin{oppgave}[8] \begin{align*} \phi(p^2) =&|\{n\in\Zp | n\leq p^2 \wedge \gcd(n,p)=1\}|\\ =&|\{n\in\Zp |n\leq p^2\}\setminus \{n\in\Zp | n\leq p^2 \wedge \gcd(n,p)\neq 1\}|\\ =&|\{n\in\Zp |n\leq p^2\}|-|\{n\in\Zp | n\leq p^2 \wedge \gcd(n,p)\neq 1\}|\\ =&p^2-|\{p, 2p, \ldots p^2\}|\\ =&p^2-p \end{align*} Sagt med ord: \(\phi(p^2\) er antall positive heltall mindre enn eller lik \(p^2\) som er relativt primiske til \(p^2\). Det er \(p^2\) positive heltall mindre enn eller lik \(p^2\), og \(p\) av disse (nemlig \(p, 2p, \ldots p^2\) er ikke relativt primiske til \(p^2\). Dermed har vi at \(\phi(p^2)=p^2-p\). \end{oppgave} \begin{oppgave}[27] Hvis $a$ er sin egen invers, har vi $a^2=1$, og dermed $$0=a^2-1=(a-1)(a+1).$$ Siden $\mathbb Z_p$ er en kropp har vi ingen nulldivisorer; dermed må vi ha $a=1$ eller $a=-1=p-1$. \end{oppgave} \begin{oppgave}[28]Vi vet at: $$(p-1)!=(p-1)(p-2)\cdots(2)(1).$$ For $p=2$ har vi $(p-1)!=1!=p-1$. For $p\geq 3$ vet vi at for hver faktor i $(p-1)!$ er også inversen en faktor ($\mathbb Z_p$ er en kropp, og alle dens elementer unntatt null er faktorer i $(p-1)!$). For alle faktorer unntatt $p-1$ og 1 er inversen en annen faktor; vi kan dermed gjøre om uttrykket for $(p-1)!$ til $$(p-1)!=(p-1)(1)\cdots (1)(1)=p-1$$ \end{oppgave} \newpage \textbf{Seksjon 22} \begin{oppgave}[17] Vi ser etter røtter til polynomet \(2x^{219}+3x^{74}+2x^{57}+3x^{44}\). Vi ser umiddelbart at \(x=0\) er en rot, så anta i det følgende at \(x\neq 0\). Da er \(x\) relativt primisk til \(5\), så dermed har vi fra Fermats lille teorem at \(x^4\equiv 1\mod 5\). Vi skriver derfor om polynomet: \[2x^{219}+3x^{74}+2x^{57}+3x^{44}=2(x^4)^{54}x^3+3(x^4)^{18}x^2+2(x^4)^{14}+3(x^4)^{11}\] Det er nå relativt mye enklere å sette inn de restrerende verdiene (\(x^4\)-faktorene blir jo alle lik 1), og vi står igjen med at 0, 1, 2 og 3 er røtter i polynomet. \end{oppgave} \begin{oppgave}[24] La $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ og $g(x)=b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0$ være to polynomer i $D[x]$, og anta $a_n\neq0\neq b_m$. Da har vi at $$f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m}+(a_{n-1}b_m+a_nb_{m-1})x^{n+m-1}+\cdots +a_0b_0$$ Siden $D$ er et integritetsområde, er $a_nb_m\neq 0$; dermed er $f(x)g(x)\neq 0$, og $D[x]$ er et integritetsområde. \end{oppgave} \begin{oppgave}[25] \begin{punkt}Som vi så i forrige oppgave er et produkt av ett polynom av grad \(m\) og ett av grad \(n\) et polynom av grad \(m+n\). Dette kan være lik \(1\) hvis og bare hvis \(m=n=0\). På den andre siden, dersom \(p(x)=a\neq 0\), så vet vi at \(a\) har en invers \(b\), og \(q(x)=b\) blir da inversen til \(p(x)\). Derfor er enhetene i \(D[X]\) nettopp alle polynomer av grad 0 som ikke er lik 0. \end{punkt} \begin{punkt} 1 og -1 \end{punkt} \begin{punkt} 1, 2, 3, 4, 5 og 6 \end{punkt} \end{oppgave} \textbf{Seksjon 23} \begin{oppgave}[7] Fra Korollar 6.16 vet vi at hvis vi har funnet én generator, kan vi også regne ut resten av generatorene. Merk at \(|\Z_{17}^*|=16\), slik at alle elementer vil ha en orden som er en potens av 2. Vi starter med å finne en generator. \(2^8\equiv 1\mod 17\), så \(2\) er ikke en generator av gruppa. Derimot har vi at \(3^8\equiv 16\mod 17\), slik at \(3\) er en generator av gruppa. Gitt en generator \(a\), er alle andre generatorer gitt som \(a^r\), der \(r\) er relativt prim til ordenen til gruppa. I dette tilfellet vil det si at \(r\) er et oddetall. Dermed er generatorene (jeg sløyfer fra nå av modulo-notasjon) \(3^1=3\), \(3^3=10\), \(3^5=5\), \(3^7=11\), \(3^9=14\), \(3^{11}=7\), \(3^{13}=12\) og \(3^{15}=6\). \end{oppgave} \begin{oppgave}[9] Fra korrolar 23.3 vet vi at \((x-a)\) er en lineær faktor av \(x^4+4\) hvis og bare hvis \(a\) er en rot av polynomet, det vil si \(a^4+4=0\). Vi merker oss at 1, 2, 3 og 4 alle er røtter av polynomet. Dermed er \(x^4+4=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\). \end{oppgave} \begin{oppgave}[35] Vi har \(f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\). Siden \(a\) er en rot av \(f(x)\) har vi at \[f(a)=a_0+a_1a+\ldots+a_{n-1}a^{n-1}+a_na^n=0\] Siden \(F\) er en kropp og \(a\neq 0\) har \(a\) en invers \(\frac 1a\). Vi ganger likningen over med \(\left(\frac 1a\right)^n\) og får at \[a_0\left(\frac 1a\right)^n+a_1a\left(\frac 1a\right)^n+\ldots+a_{n-1}a^{n-1}\left(\frac 1a\right)^n+a_na^n\left(\frac 1a\right)^n=0.\] Vi forkorter og får \[a_0\left(\frac 1a\right)^n+a_1\left(\frac 1a\right)^{n-1}+\ldots+a_{n-1}\left(\frac 1a\right)+a_n=0.\] Dermed har vi at \(\left(\frac 1a\right)^n\) er en rot av \(a_n+a_{n-1}x+\ldots+a_{1}x^{n-1}+a_0x^n\). \end{oppgave} \textbf{Eksamensoppgaver} \begin{oppgave}[H2006 - 7] Vi har \(p\) et primtall og \(0\leq a