\documentclass[11pt, a4paper, english, norsk]{NTNUlf}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amssymb}


\newcommand{\Z}[0]{\mathbb Z}
\newcommand{\Zp}[0]{\mathbb Z^+}
\newcommand{\Q}[0]{\mathbb Q}
\newcommand{\R}[0]{\mathbb R}
\newcommand{\C}[0]{\mathbb C}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\im}{Im}

\ovingnr{9}%NB
\semester{Vår 2018}
\fag{MA2201/TMA4150}
\institutt{Institutt for matematiske fag}

\begin{document}

Med forbehold om feil. Gi gjerne beskjed til mads.sandoy alfakrøll ntnu.no hvis en finner noen.


\textbf{Seksjon 20}
\begin{oppgave}[2]
Her er nok det enkleste å prøve seg fram med ulike elementer i mengden av enheter i \(\Z_{11}\). Generatorene er 2, 6, 7 og 8.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}[8]
\begin{align*}
\phi(p^2)
=&|\{n\in\Zp | n\leq p^2 \wedge \gcd(n,p)=1\}|\\
=&|\{n\in\Zp |n\leq p^2\}\setminus \{n\in\Zp | n\leq p^2 \wedge \gcd(n,p)\neq 1\}|\\
=&|\{n\in\Zp |n\leq p^2\}|-|\{n\in\Zp | n\leq p^2 \wedge \gcd(n,p)\neq 1\}|\\
=&p^2-|\{p, 2p, \ldots p^2\}|\\
=&p^2-p
\end{align*}
Sagt med ord: \(\phi(p^2\) er antall positive heltall mindre enn eller lik \(p^2\) som er relativt primiske til \(p^2\). Det er \(p^2\) positive heltall mindre enn eller lik \(p^2\), og \(p\) av disse (nemlig \(p, 2p, \ldots p^2\) er ikke relativt primiske til \(p^2\). Dermed har vi at \(\phi(p^2)=p^2-p\).
\end{oppgave}

\begin{oppgave}[27]
Hvis $a$ er sin egen invers, har vi $a^2=1$, og dermed $$0=a^2-1=(a-1)(a+1).$$ Siden $\mathbb Z_p$ er en kropp har vi ingen nulldivisorer; dermed må vi ha $a=1$ eller $a=-1=p-1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}[28]Vi vet at:
$$(p-1)!=(p-1)(p-2)\cdots(2)(1).$$

For $p=2$ har vi $(p-1)!=1!=p-1$.

For $p\geq 3$ vet vi at for hver faktor i $(p-1)!$ er også inversen en faktor ($\mathbb Z_p$ er en kropp, og alle dens elementer unntatt null er faktorer i $(p-1)!$). For alle faktorer unntatt $p-1$ og 1 er inversen en annen faktor; vi kan dermed gjøre om uttrykket for $(p-1)!$ til
$$(p-1)!=(p-1)(1)\cdots (1)(1)=p-1$$
\end{oppgave}

\newpage
\textbf{Seksjon 22}
\begin{oppgave}[17]
Vi ser etter røtter til polynomet \(2x^{219}+3x^{74}+2x^{57}+3x^{44}\). Vi ser umiddelbart at \(x=0\) er en rot, så anta i det følgende at \(x\neq 0\). Da er \(x\) relativt primisk til \(5\), så dermed har vi fra Fermats lille teorem at \(x^4\equiv 1\mod 5\). Vi skriver derfor om polynomet:
\[2x^{219}+3x^{74}+2x^{57}+3x^{44}=2(x^4)^{54}x^3+3(x^4)^{18}x^2+2(x^4)^{14}+3(x^4)^{11}\]
Det er nå relativt mye enklere å sette inn de restrerende verdiene (\(x^4\)-faktorene blir jo alle lik 1), og vi står igjen med at 0, 1, 2 og 3 er røtter i polynomet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}[24]
La $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ og $g(x)=b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0$ være to polynomer i $D[x]$, og anta $a_n\neq0\neq b_m$. Da har vi at 
$$f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m}+(a_{n-1}b_m+a_nb_{m-1})x^{n+m-1}+\cdots +a_0b_0$$
Siden $D$ er et integritetsområde, er $a_nb_m\neq 0$; dermed er $f(x)g(x)\neq 0$, og $D[x]$ er et integritetsområde.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}[25]
\begin{punkt}Som vi så i forrige oppgave er et produkt av ett polynom av grad \(m\) og ett av grad \(n\) et polynom av grad \(m+n\). Dette kan være lik \(1\) hvis og bare hvis \(m=n=0\). På den andre siden, dersom \(p(x)=a\neq 0\), så vet vi at \(a\) har en invers \(b\), og \(q(x)=b\) blir da inversen til \(p(x)\). Derfor er enhetene i \(D[X]\) nettopp alle polynomer av grad 0 som ikke er lik 0.
\end{punkt}
\begin{punkt}
1 og -1
\end{punkt}
\begin{punkt}
1, 2, 3, 4, 5 og 6
\end{punkt}
\end{oppgave}


\textbf{Seksjon 23}
\begin{oppgave}[7]
Fra Korollar 6.16 vet vi at hvis vi har funnet én generator, kan vi også regne ut resten av generatorene. Merk at \(|\Z_{17}^*|=16\), slik at alle elementer vil ha en orden som er en potens av 2.

Vi starter med å finne en generator. \(2^8\equiv 1\mod 17\), så \(2\) er ikke en generator av gruppa. Derimot har vi at \(3^8\equiv 16\mod 17\), slik at \(3\) er en generator av gruppa.

Gitt en generator \(a\), er alle andre generatorer gitt som \(a^r\), der \(r\) er relativt prim til ordenen til gruppa. I dette tilfellet vil det si at \(r\) er et oddetall. Dermed er generatorene (jeg sløyfer fra nå av modulo-notasjon) \(3^1=3\), \(3^3=10\), \(3^5=5\), \(3^7=11\), \(3^9=14\), \(3^{11}=7\), \(3^{13}=12\) og \(3^{15}=6\).
\end{oppgave}
\begin{oppgave}[9]
Fra korrolar 23.3 vet vi at \((x-a)\) er en lineær faktor av \(x^4+4\) hvis og bare hvis \(a\) er en rot av polynomet, det vil si \(a^4+4=0\). Vi merker oss at 1, 2, 3 og 4 alle er røtter av polynomet. Dermed er \(x^4+4=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\).
\end{oppgave}
\begin{oppgave}[35]
Vi har \(f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\). Siden \(a\) er en rot av \(f(x)\) har vi at
\[f(a)=a_0+a_1a+\ldots+a_{n-1}a^{n-1}+a_na^n=0\]
Siden \(F\) er en kropp og \(a\neq 0\) har \(a\) en invers \(\frac 1a\). Vi ganger likningen over med \(\left(\frac 1a\right)^n\) og får at
\[a_0\left(\frac 1a\right)^n+a_1a\left(\frac 1a\right)^n+\ldots+a_{n-1}a^{n-1}\left(\frac 1a\right)^n+a_na^n\left(\frac 1a\right)^n=0.\]
Vi forkorter og får
\[a_0\left(\frac 1a\right)^n+a_1\left(\frac 1a\right)^{n-1}+\ldots+a_{n-1}\left(\frac 1a\right)+a_n=0.\]
Dermed har vi at \(\left(\frac 1a\right)^n\) er en rot av \(a_n+a_{n-1}x+\ldots+a_{1}x^{n-1}+a_0x^n\).
\end{oppgave}

\textbf{Eksamensoppgaver}
\begin{oppgave}[H2006 - 7]
Vi har \(p\) et primtall og \(0\leq a<p\) et heltall. Videre lar vi \(q(x)\in \Z_p(x)\) være gitt ved \(q(x)=x^p-a\). Fermats lille teorem forteller oss at \(a^p\equiv a\mod p\). Dermed er \(a\) en rot av \(q\), og siden \(Z_p\) er en kropp må da \((x-a)\) være en (lineær) faktor av \(q(x)\).
\end{oppgave}

\begin{oppgave}[K2007 - 6] Vi vet at et produkt av to polynomer, henholdsvis av grad \(m\) og \(n\), over en kropp\footnote{Strengt tatt er det nok med et integritetsområde} er et polynom av grad \(m+n\). Ut ifra det ser vi at enhetene i \(\Z_5[x]\) er alle konstante polynomer unntatt 0. 

Videre ser vi at \(\Z_5[x]\) er et integritetsområde (ingen nulldivisorer), men ikke en kropp (alle polynomer av grad større en null mangler inverser).
\end{oppgave}

\begin{oppgave}[V2013 - 3]
\begin{punkt}
Her er det nok å sjekke definisjonen: \(R\) er lukket under addisjon og multiplikasjon, og multiplikasjon er kommutativt.
\end{punkt}
\begin{punkt}
\begin{itemize}
\item For å vise \(\phi\) er en ringhomomorfi, må vi vise at \(\phi\) respekterer addisjon og multiplikasjon. Dette er ganske rett frem ved innsetting.
\item \(\ker\phi =\left\{\left[\begin{smallmatrix}0&y&z\\0&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}\right]\vert x,y,\in\Z_3\right\}\)
\item \(R/\ker\phi\cong\phi[R]=\Z_3\), i følge fundamentalteoremet for homomorfier (26.17). \(\Z_3\) er som kjent en kropp med tre elementer.
\end{itemize}
\end{punkt}
\end{oppgave}

\end{document}
