\documentclass[11pt, a4paper,english, norsk]{NTNUoving}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}

\newcommand{\Z}[0]{\mathbb Z}
\newcommand{\R}[0]{\mathbb R}
\newcommand{\C}[0]{\mathbb C}

\ovingnr{9}%Endre!!!!
\semester{Vår 2015}
\fag{MA2201/TMA4150}
\institutt{Institutt for matematiske fag}

\begin{document}
\textbf{Fra boka:}\\
Seksjon 18: 15, 18, 37, 46\\
Seksjon 19: 1, 2, 23

\textbf{Andre oppgaver}
\begin{oppgave} La \(n\in\Z\) være et heltall (ikke nødvendigvis positivt!) og definer
\[\Z[\sqrt n\,]=\{a+b\sqrt n\mid a,b\in \Z\}.\]
Vis at dette er en ring og at \(\Z\subseteq \Z[\sqrt n\,]\subseteq \mathbb C\).
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
La \(M_n(\C)\) være ringen av alle \(n\times n\)-matriser over \(\C\). Finn alle nulldivisorene.\\
\emph{Hint:} Determinant.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
\begin{punkt}
La \(R\) og \(S\) være to ringer. Vis at for et element \((a,b)\in R \times S\) gjelder følgende: \((a,b)\) er en enhet i \(R\times S\) hvis og bare hvis både \(a\) er en enhet i \(R\) og \(b\) er en enhet i \(S\).
\end{punkt}
\begin{punkt}
La \(R\) og \(S\) være ringer, og la \(f:R\rightarrow S\) være en ringisomorfi. Vis at et element \(a\in R\) er en enhet hvis og bare hvis \(f(a)\) er en enhet i S.
\end{punkt}
\begin{punkt}
La \(m,n\) være to positive heltall med \(\gcd(m,n)=1\). Definer 
\(f:\Z_{mn}\rightarrow\Z_m\times\Z_n\) ved \(f(a)=(a\mod m, a\mod n)\). Vis at \(f\) er en ringisomorfi.
\end{punkt}
\begin{punkt}
Eulers phi-funksjon \(\phi\) er definert som følger: For et positivt heltall \(n\) er \[\phi(n)=|\{a|1\leq a\leq n, \gcd(a,n)=1\}|.\]
Med andre ord, \(\phi(n)\) er antall heltall mindre enn eller lik \(n\) som er relativt primisk til \(n\). 
Vis at \(\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)\).\\
\emph{Hint:}Se på antall enheter i \(\Z_{mn}\), \(\Z_{m}\) og \(\Z_{n}\).
\end{punkt}
\end{oppgave}
%\newpage
\begin{oppgave}
En ikke-triviell ringhomomorfi \(f:R\rightarrow S\) er en ringhomomorfi slik at \(f(a)\neq 0_S\) for minst én \(a\in R\). \(0_S\) betegner her den additive identiteten i \(S\).
\begin{punkt}
Vis at dersom \(f: \C\rightarrow \R\) er en ikke-triviell ringhomomorfi, så er \(f(0)=0\), \(f(1)=1\) og \(f(-1)=-1\).
\end{punkt}
\begin{punkt}
Vis at det ikke finnes noen ikke-triviell ringhomomorfi \(f:\C\rightarrow \R\).\\
\emph{Hint:} Hva blir \(f(i)\)?
\end{punkt}
\end{oppgave}

\end{document}
