\documentclass[11pt, a4paper,english, norsk]{NTNUoving}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}

\newcommand{\Z}[0]{\mathbb Z}

\ovingnr{12}%Endre!!!!
\semester{Vår 2015}
\fag{MA2201/TMA4150}
\institutt{Institutt for matematiske fag}

\begin{document}
Oppgavene merket * er litt mer utfordrende.

\textbf{Fra boka:}\\
Seksjon 27: 5, 6, 9, 31, 34, 35\\

\textbf{Andre oppgaver:}\\
\vspace{-2mm}
\begin{oppgave}
Vis at hvis \(I\subseteq \Z\) er et ideal så finnes det et element \(n\in\Z\) med \(n\geq 0\) slik at 
\[I=n\Z=\{nq|q\in\Z\}\]
\emph{Hint:} Divisjonsalgoritmen for \(\Z\).
\end{oppgave}
\begin{oppgave}
Vis at for et ideal \(n\Z\subseteq\Z\) gjelder:
\[n\Z\textnormal{ maksimalt ideal}\Leftrightarrow n\textnormal{ primtall.}\]
\end{oppgave}
\begin{oppgave}
La \(F\) være en kropp. Vis at hvis \(I\subseteq F[x]\) er et ideal så finnes et element \(f(x)\in F[x]\) slik at
\[I=\langle f(x)\rangle =\{f(x)g(x)|g(x)\in F[x]\}\]
\emph{Hint:} Divisjonsalgoritmen for \(F[x]\).
\end{oppgave}
\begin{oppgave}
La \(F\) være en kropp og la \(f(x)\in F[x]\). Vis at

\[\langle f(x)\rangle \textnormal{ maksimalt ideal}\Leftrightarrow f(x)\textnormal{ irredusibelt.}\]
\emph{Hint for ``\(\Leftarrow\)''}: Anta at \(J\) er et ideal slik at \(\langle f(x)\rangle\subseteq J\subseteq F[x]\). I følge oppgave (3) er da \(J=\langle p(x)\rangle\) for et element \(p(x)\in F[x]\). Dersom \(\deg p=0\) er \(p(x)=a\) for en konstant \(a\). Vis at \(a\neq 0\), og at vi da har \(J=F[x]\). Dersom \(\deg p\geq 1\), bruk divisjonsalgoritmen for \(F[x]\): \(f(x)=p(x)q(x)+r(x)\)...
\end{oppgave}

\textbf{Eksamensoppgaver:}\\
Vår 2011: oppgave 3\\
Høst 2010: oppgave 3\\
Vår 2009: oppgave 4\\
Vår 2008: oppgave 5

\end{document}
