\documentclass[11pt, a4paper,english, norsk]{NTNUoving}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}

\newcommand{\Z}[0]{\mathbb Z}

\ovingnr{10}%Endre!!!!
\semester{Vår 2015}
\fag{MA2201/TMA4150}
\institutt{Institutt for matematiske fag}

\begin{document}

\textbf{Fra boka:}\\
Seksjon 20: 2, 8, 9, 27, 28\\
Seksjon 22: 1, 5, 17, 24, 25

\textbf{Eksamensoppgaver:}\\
Eksamen Høst 2011, oppg 2\\
Eksamen Høst 2006, oppg 1


\textbf{Avansert oppgave for den interesserte: Homologisk algebra}
\vspace{-5mm}
\begin{oppgave}[*]
I denne oppgaven skal vi f{\aa} et lite innblikk i den delen av moderne algebra som kalles \emph{homologisk algebra}. Dette utviklet seg p{\aa} 1940-tallet til {\aa} bli et eget fagfelt, sterkt p{\aa}virket av det som kalles algebraisk topologi. I dag benytter man seg av homologisk algebra ogs{\aa} i mange andre deler av matematikken, som matematisk fysikk, algebraisk tallteori, algebraisk geometri osv.

\begin{punkt} Anta at vi har tre abelske grupper $H,G,L$ og to gruppehomomorfier $\varphi, \psi$ i en sekvens slik:
$$H \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} L$$
For en gruppehomomorfi har vi tidligere i kurset definert \emph{kjernen} og \emph{bildet}, og dette er to nye grupper. Per definisjon har vi
\begin{eqnarray*}
\rm{Ker} ( \psi ) & = & \{ g \in G \mid \psi (g) =0 \} \\
\rm{Im} ( \varphi ) & = & \{ \varphi (h) \mid h \in H \}.
\end{eqnarray*}
Begge disse er undergrupper av $G$, men har generelt ikke noe med hverandre {\aa} gj{\o}re. Vis at f{\o}lgende er ekvivalent:
\begin{enumerate}
\item $\rm{Im} ( \varphi ) \le \rm{Ker} ( \psi )$, dvs.\ $\rm{Im} ( \varphi )$ er en undergruppe av $\rm{Ker} ( \psi )$.
\item Sammensettingen av $\varphi$ og $\psi$ er triviell, dvs.\ $\psi \circ \varphi =0$.
\end{enumerate}
\end{punkt}
\begin{punkt}

En sekvens som den i (a) kalles \emph{eksakt i G} hvis $\rm{Ker} ( \psi ) =  \rm{Im} ( \varphi )$. Se n{\aa} p{\aa} en sekvens 
$$(0) \xrightarrow{0} H \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} L  \xrightarrow{0} (0)$$
hvor gruppen $(0)$ betegner den trivielle abelske gruppen (med bare ett element), og de to gruppehomomorfiene p{\aa} endene er nullavbildningen. En slik sekvens kalles \emph{kort-eksakt} hvis den er eksakt i b{\aa}de $H,G$ og $L$. Vis at f{\o}lgende er ekvivalent:
\begin{enumerate}
\item Sekvensen er kort-eksakt.
\item $\varphi$ er injektiv, $\psi$ er surjektiv, og $\rm{Ker} ( \psi ) =  \rm{Im} ( \varphi )$.
\end{enumerate}
\end{punkt}
\begin{punkt}

La $G$ v{\ae}re en abelsk gruppe og $H$ en undergruppe. For abelske grupper er alle undergrupper automatisk normale, s{\aa} vi kan danne faktorgruppen $G/H$. La $i \colon H \to G$ v{\ae}re inklusjons-homomorfien og $\pi \colon G \to G/H$ homomorfien gitt ved $\pi (g) = g+H$, dvs.\ $\pi$ sender et element i $G$ til sin restklasse (som jo er et element i $G/H$). Vis at sekvensen
$$(0) \xrightarrow{0} H \xrightarrow{i} G \xrightarrow{\pi} G/H  \xrightarrow{0} (0)$$
er kort-eksakt.
\end{punkt}
\begin{punkt}

Et \emph{kompleks} $\mathbb{K}$ av abelske grupper er en sekvens (kan v{\ae}re uendelig lang i begge retninger)
$$\cdots \xrightarrow{f_{n+3}} G_{n+2} \xrightarrow{f_{n+2}} G_{n+1} \xrightarrow{f_{n+1}} G_{n} \xrightarrow{f_{n}} G_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} G_{n-2} \xrightarrow{f_{n-2}} \cdots$$ 
hvor f{\o}lgende holder:
\begin{enumerate}
\item[(i)] Hver $G_n$ er en abelsk gruppe.
\item[(ii)] Hver $f_n$ er en gruppehomomorfi.
\item[(iii)] Sammensettingen av to etterf{\o}lgende gruppehomomorfier er triviell, dvs.\ $f_n \circ f_{n+1} =0$ for alle $n \in \mathbb{Z}$.
\end{enumerate}
Fra (a) vet vi at egenskap (iii) er ekvivalent med at ${\rm{Im}} (f_{n+1}) \le {\rm{Ker}} (f_n)$ for alle $n \in \mathbb{Z}$. For et slikt kompleks kan vi derfor danne faktorgruppen $ {\rm{Ker}} (f_n) / {\rm{Im}} (f_{n+1})$ for alle $n$. Dette kalles den $n$te \emph{homologigruppen} til komplekset $\mathbb{K}$, og betegnes $\mathbf{H}_n ( \mathbb{K} )$. Alts{\aa}:
$$\mathbf{H}_n ( \mathbb{K} ) = {\rm{Ker}} (f_n) / {\rm{Im}} (f_{n+1}).$$
Komplekset $\mathbb{K}$ kalles \emph{eksakt} hvis det er eksakt i $G_n$ for alle $n \in \mathbb{Z}$. Vis at f{\o}lgende er ekvivalent:
\begin{enumerate}
\item Komplekset $\mathbb{K}$ er eksakt.
\item $\mathbf{H}_n ( \mathbb{K} ) = (0)$ for alle $n \in \mathbb{Z}$, dvs.\ for alle $n \in \mathbb{Z}$ er homologigruppen $\mathbf{H}_n ( \mathbb{K} )$ den trivielle gruppen (med kun ett element).
\end{enumerate}
\end{punkt}
\begin{punkt}

Se p{\aa} f{\o}lgende tre sekvenser:
$$\cdots \xrightarrow{\cdot 5} \mathbb{Z} \xrightarrow{\cdot 0} \mathbb{Z} \xrightarrow{\cdot 5} \mathbb{Z} \xrightarrow{\cdot 0} \mathbb{Z} \xrightarrow{\cdot 5} \cdots$$
\vspace{2mm}
$$\cdots \xrightarrow{\cdot 2} \mathbb{Z}_6 \xrightarrow{\cdot 3} \mathbb{Z}_6 \xrightarrow{\cdot 2} \mathbb{Z}_6 \xrightarrow{\cdot 3} \mathbb{Z}_6 \xrightarrow{\cdot 2} \cdots$$
\vspace{2mm}
$$\cdots \xrightarrow{\cdot 4} \mathbb{Z}_8 \xrightarrow{\cdot 4} \mathbb{Z}_8 \xrightarrow{\cdot 4} \mathbb{Z}_8 \xrightarrow{\cdot 4} \mathbb{Z}_8 \xrightarrow{\cdot 4} \cdots$$
Her betyr avbildningene ``$\cdot a$'' at man multipliserer med $a$ (dette blir gruppehomomorfier). Vis at alle disse tre sekvensene er komplekser. Er noen av dem eksakte?
\end{punkt}
\end{oppgave}
\end{document}