\documentclass[a4paper, norsk, 11pt]{NTNUoving}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{caption}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{cancel}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{framed}
\usepackage{icomma} % gives correct spacing with the decimal comma - $2,3$ gives a decimal, while $2, 3$ has a space before number three
\usepackage{lmodern}
\usepackage{microtype}
\usepackage{placeins}
%
%\usepackage{amsmath}%
%\usepackage{amsfonts}%
%\usepackage{amssymb}%
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{pdfpages} % gives the \includepdf command - https://www.ctan.org/pkg/pdfpages
\usepackage{float}


\newtheorem{theorem}{Teorem}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{definition}{Definisjon}
\newtheorem{notation}{Notasjon}

%\numberwithin{equation}{section}


%\usepackage{cm-super}
\newcommand{\bfd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\bfb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\bfy}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bfz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bfo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bfn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bfu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bfa}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bfv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bfr}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bfL}{\mathbf{L}}
\newcommand{\bfw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{\,d}}
\newcommand{\qrq}{\qquad\Rightarrow\qquad}

\DeclareMathOperator{\tr}{tr}

%%%% Code for augmented matrix
%%%% Source: https://tex.stackexchange.com/a/2244/44508 , by Stefan Kottwitz https://tex.stackexchange.com/users/213/stefan-kottwitz
%%%% Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required

\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

%%%% End code for augmented matrix




\ovingnr{11}
\semester{Vår 2021}
\fag{MA0002 Brukerkurs i matematikk B}
\institutt{Institutt for matematiske fag}

\begin{document}


\begin{oppgave}[10.4:10]
Finn likninga til tangentplanet i \((x_0, y_0) = (1, 1)\) til funksjonen
\[f(x, y) = \ln(x^2 + y^2).\]
\end{oppgave}


%\begin{oppgave}[10.4:19]
%Finn lineariseringen til
%\[f(x, y) = \sqrt{x} + 2y\]
%i \((x_0, y_0) = (1, 0)\).
%\end{oppgave}
%\textbf{Løsning:}\\
%\(f(x_0, y_0) = f(1, 0) = 1\) og
%\begin{align*}
%\frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{1}{2\sqrt{x}}, & \frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) &= \frac{1}{2}\\
%\frac{\partial f}{\partial y} &= 2, & \frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) &= 2,
%\end{align*}
%så
%\begin{align*}
%L(x, y) &= f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)\\
%       &= 1 +\frac{1}{2} (x-1) + 2(y-0)\\
%       &= \frac{x}{2} + 2y +\frac{1}{2}.
%\end{align*}


\begin{oppgave}[10.4:28]
Finn lineariseringen til
\[f(x, y) = \tan(2x - 3y^2)\]
i $(0, 0)$ og bruk den til å finne ei tilnærming til \(f(0,03 ; 0,05)\).
Sammenlign med den eksakte verdien av \(f(0,03 ; 0,05)\).
\end{oppgave}



\begin{oppgave}[10.4:36]
	Finn Jacobi-matrisen til
	\[\bff(x, y) = 
	\begin{bmatrix}
	\sqrt{x^2 + y^2}\\ e^{-x^2}
	\end{bmatrix}.\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}[10.4:44]
	Finn lineariseringen til
	\[\bff(x, y) = 
	\begin{bmatrix}
	x/y\\ 2xy
	\end{bmatrix}\]
	i \(\bfx_0 = 
		\begin{bmatrix}
		-1 \\
		1
		\end{bmatrix}
	\) og bruk den til å finne ei tilnærming til \(\bff(-0,9; 1,05)\). Sammenlign med den eksakte verdien av \(\bff(-0,9; 1,05)\).
\end{oppgave}



%\begin{oppgave}[10.5:3]
%La \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) der \(x(t) = t\) og \(y(t) = \sin t\). Finn \(w'(\frac{\pi}{3})\) når
%\[w(t) = f(x(t),y(t)).\]
%\end{oppgave}
%\textbf{Løsning:}\\
%\begin{align*}
%w'(t) &= \frac{d}{dt}f(x(t),y(t))\\
%      &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\\
%			&= \frac{1\cdot x(t)}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{-\cos t\cdot y(t)}{\sqrt{x^2 + y^2}}
%\end{align*}
%så
%\begin{align*}
%w'(\pi/3) &= \frac{\pi/3}{\sqrt{(\frac{\pi}{3})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} - \frac{1/2 \cdot \sqrt{3}/2}{\sqrt{(\frac{\pi}{3})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} \\
%          &= \frac{\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{(\frac{\pi}{3})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}\\
%					&= \frac{\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\frac{\pi^2}{9}+\frac{{3}}{4}}}.
%\end{align*}


\begin{oppgave}[10.5:19]
Finn gradienten til
\[f(x, y) = \sqrt{x^3-3xy}.\]
\end{oppgave}



\begin{oppgave}[10.5:28]
Finn den retningsderiverte av
\[f(x, y) = x^3y^2\]
i \((x_0, y_0) = (2,3)\) i retninga av vektoren~$
	\begin{bmatrix}
		-2\\
		1
	\end{bmatrix}
$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}[10.5:35]
I hvilken retning øker
\[f(x, y) = 3xy-x^2\]
mest i punktet \((-1, 1)\)?
\end{oppgave}


%\begin{oppgave}[10.5:43]
%Se oppgaveteksten i boka. Vi skal finne gradienten til
%\[f(x, y) = \frac{4}{|x| + |y| + 1}\]
%i punktet \((3,1)\).
%\end{oppgave}
%\textbf{Løsning:}\\
%For å løse denne oppgava trenger vi å derivere funksjonen \(|x|\). Det gjøres kanskje enklest ved å bruke at \(|x| = \sqrt{x^2}\):
%\begin{align*}
%\frac{d}{dx}|x| &= \frac{d}{dx}\sqrt{x^2}\\
%                &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2}}\\
%								&= \frac{x}{|x|}\\
%								&= 
%\begin{cases}
%1, & x>0\\ -1, & x<0
%\end{cases}								
%\end{align*}
%Merk at \(\frac{x}{|x|}\) ikke er definert for \(x=0\), så \(|x|\) er ikke deriverbar i \(x=0\). Vi finner nå at gradienten er
%\begin{align*}
%\nabla f(x, y) &= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\\
%              &= \left(-\frac{4\frac{x}{|x|}}{(|x| + |y| + 1)^2}, -\frac{4\frac{y}{|y|}}{(|x| + |y| + 1)^2}\right)\\
%							&= -\frac{4}{(|x| + |y| + 1)^2}\left(\frac{x}{|x|}, \frac{y}{|y|}\right)
%\end{align*}
%for alle \(x\) og \(y\) utenfor koordinataksene. Dermed er
%\[\nabla f(3, 1) = -\frac{4}{25}(1, 1).\]

\end{document}

