\documentclass[titlepage,a4paper,12pt,norsk]{IMFeksamen}
\usepackage[utf8]{inputenc} % erstatt evt utf8 med latin1
\trykkinfo[tosidig,sorthvit,flervalg] % [ensidig,farger]
\emnekode{MA0001}
\emnenavn{Brukerkurs i matematikk A}
\eksamensdato{17.08.2021}
\eksamenstid{09:00-13:00}
\fagligkontaktinfo{ }{ }
\hjelpemiddel{ }
\anneninfo{ }
\runninghead{MA0001 Brukerkurs i matematikk A, 17.\ august 2021}

% Importerte pakker
\usepackage{ifluatex,amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}

\ifluatex
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Cambria}
\usepackage{unicode-math}
\setmathfont{Cambria Math}
\else
\usepackage[utf8]{inputenc}
\fi


% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{\mathrm{d}}}
\renewcommand{\P}{\mathcal{P}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\newcommand{\withdelims}[4]{\mathopen#1#2#3\mathclose#1#4}
\newcommand{\defdelims}[4][]
{\newcommand{#2}[2][#1]{\withdelims{##1}{#3}{##2}{#4}}}
\defdelims{\abs}||
\defdelims{\parens}()
\defdelims{\bracks}[]
\defdelims[\big]{\setof}\{\}
\let\le=\leqslant
\let\ge=\geqslant
\let\leq=\leqslant
\let\geq=\geqslant
\let\phi=\varphi

\newcommand*{\ds}{\displaystyle}


\begin{document}
  
  {\large \bf Flervalgsoppgaver}
  \begin{oppgave}
    La $a > 0$ og $a \neq 1$. Hvilket av alternativene er lik $a^{\ln(a e^2)}$?
    \begin{itemize}
      \item $a^a$
      \item $a^{2 \ln{a}}$
      \item $a e^2$
      \item $a^2 a^{\ln{a}}$
    \end{itemize}
  \end{oppgave}

  \begin{oppgave}
    Eksisterer grenseverdien \( \lim\limits_{x\to0} \frac{x-a}{(2a+x)^2}? \)
    \begin{itemize}
      \item Ja for $a=0$, nei for $a\neq0$.
      \item Nei, uansett verdi av $a$.
      \item Ja, uansett verdi av $a$.
      \item Nei for $a=0$, ja for $a\neq0$.
    \end{itemize}
  \end{oppgave}

  \begin{oppgave}
    Hvilket alternativ er riktig uttrykk for $y'(x)$ når sammenhengem mellom $x$ og $y$ er gitt ved $x^4 + y^4 = 2xy^5$?
    \begin{itemize}
      \item $\ds y'(x) = \frac{2x^2-y^2}{5y-2}$
      \item $\ds y'(x) = \frac{x^3}{2y(y-1)}$
      \item $\ds y'(x) = \frac32 x^2$
      \item $\ds y'(x) = \frac{2x^3-y^5}{5xy^4-2y^3}$
    \end{itemize}
  \end{oppgave}

  \begin{oppgave}
    En funksjons graf er tegnet på intervallet $[-1, 1{,}5]$, se Figur \ref{oppg4}. Vi betrakter funksjonen bare på det åpne intervallet $(-1, 0{,}9)$. Har funksjonen et globalt toppunkt (maksimum) og bunnpunkt (minimum) på dette delintervallet $(-1, 0{,}9)$?
    \begin{figure}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../oppg4fig}
      \label{oppg4}
    \end{figure}
  \begin{itemize}
    \item Funksjonen har et globalt bunnpunkt i $x\approx0{,}9$ og et globalt toppunkt i $x\approx0{,}1$.
    \item Funksjonen har ingen globale ekstrempunkter fordi den er definert på et åpent intervall.
    \item Funksjonen har et globalt toppunkt i $x\approx0{,}1$, men intet globalt bunnpunkt.
    \item Funksjonen har et globalt bunnpunkt i $x\approx0{,}9$, men intet globalt toppunkt.
  \end{itemize}
  \end{oppgave}
  
  \begin{oppgave}
    Vi er gitt funksjonen $f(x) = x^2 + \sin{x}$. La $T_3(x)$ være Taylor-polynomet av tredje grad for $f$ utviklet i origo $x_0=0$, og la $T_2(x)$ være det tilsvarende Taylor-polynomet av andre grad.
    Hva er $T_3(x) - T_2(x)$ lik?
    \begin{itemize}
      \item $T_3-T_2=0$, fordi den tredjederiverte til $f$ er lik null og lavere grads deriverte har ingen betydning.
      \item $T_3-T_2=0$, fordi $f$ er et andregrads polynom og dermed er høyere grads Taylor-polynomer lik null.
      \item $T_3-T_2=-x^3$, fordi den tredjederiverte av $f$ i origo er lik $-1$, og $T_3-T_2$ har ingen andre ledd.
      \item $T_3-T_2=-x^3/6$, fordi fakultet av tre er lik seks og vi må dele den tredjederiverte $-1$ med $3!$. Det er ingen andre ledd.
    \end{itemize}
  \end{oppgave}

  {\large \bf Skriftlige oppgaver}

  \begin{oppgave}
    
    \textbf{a)} Tegn sirkelen $y^2 + 4x + x^2 -4y = 1$.
    
    \textbf{b)} Oppgi ei likning for ei linje med stigningstall lik $1$
    og som skjærer sirkelen i to punkter.
    
    \textbf{c)} Tegn linja i samme koordinatsystem som sirkelen.
    
  \end{oppgave}

  \begin{oppgave}
    La $f(x) = 1+\cos{x}$ og $g(x) = \sqrt{x}$. Vi ser på de sammensatte funksjonene av $f$ og $g$.
    
    \textbf{a)} Regn ut formelen til $f \circ g$ og finn dens største definisjonsmengde.
    
    \textbf{b)} Regn ut formelen til $g \circ f$ og finn dens største definisjonsmengde.
  \end{oppgave}

  \begin{oppgave}
    Finn de globale ekstremalpunktene til $f \colon [0,1] \to \R$,
    \begin{equation*}
      f(x) = \begin{cases}
      | x-1/2 |, & 0 \le x < 1/2, \\
      200(x-4/5)^2-1, & 1/2 \le x \le 1.
              \end{cases}
  \end{equation*}
  \end{oppgave}

  \begin{oppgave}
    
    \textbf{a)} I hvilke situasjoner kan vi benytte l'Hôpitals regel? En kort forklaring med noen få setninger er tilstrekkelig svar.
    
    \textbf{b)} Gi et eksempel på l'Hôpitals regel. Ikke bruk et eksempel som er rett fra læreboka eller forelesningene.
    
  \end{oppgave}

  \begin{oppgave}
    For hvilke negative reelle tall $p<0$ konvergerer integralet $\int_0^1 x^p \,\mathrm{d}x$?
  \end{oppgave}
  
\end{document}