TMA4100 Matematikk 1 for MTEL, MTENERG, MTIØT, MTTK høsten 2008

Her er ingen intime betroelser, men litt (i omvendt kronologisk rekkefølge) om hva som er gjennomgått og svar på spørsmål som er reist i forbindelse med forelesninger, forsøk på å rette opp utbredte misforståelser, etc.

Avsnitt 15.5 om skissering og drøfting av løsninger for autonome ligninger. Jeg tok for meg en håndfull enkle og nyttige prinsipper utover de boken nevner:

• Enhver løsning av en autonom ligninger enten konstant eller monoton.
• Det følger at enhver løsning har en (endelig eller uendelig) grense i hver ende.
• Dersom løsningen har en endelig grense, er grenseverdien et likevektspunkt.
• Og ikke minst: Om y(x) er en løsning og a er en konstant så er også y(x-a) en løsning, det vil si vi kan flytte løsningsgrafer til høyre eller venstre og få nye løsninger.

Avsnitt 15.3 er et typisk prateavsnitt, bare med noen eksempler, så jeg pratet også og viste eksempler som er beslektet, men ikke identisk med, de i boken. Hastighetsavhengig friksjon er ofte kvadratisk, ikke lineær som i boken, så jeg regnet litt på det. Og så litt om ortogonale kurvefamilier. Som et eksempel fant jeg kurvefamilien ortogonal til kurvene xⁿ+yⁿ=C.

(Foiler.) Men hovedtema var likevel avsnitt 15.4, med numeriske metoder for løsning av ordinære differensialligninger, fokusert på Eulers og Heuns metoder. Den sistnevnte omtales som en «forbedret Euler»-metode, men det var altså Heun som foreslo den i år 1900. Jeg tråkket litt utenfor pensum og nevnte at disse metodene er enkle eksempler på Runge–Kutta-metoder, som er viktige å vite om (selv om du ikke lærer dem å kjenne) blant annet fordi de forekommer ofte i numerisk programvare.

(Foiler.) Vi startet på kapittel 15 om differensialligninger: 15.1 med litt generell eksistens- og entydighetsteori, og 15.2 om lineære systemer og integrerende faktorer.

(Foiler.) Avsnitt 8.9: Taylors teorem/formel og konvergens av Taylorrekker, estimering av restledd. Vi står over det lille avsnittet om Eulers identitet (ikke pensum) og beviset for Taylors teorem (ditto). Jeg antydet raskt et annet bevis i forelesningen (se foilene) for de ekstra nysgjerrige. Jeg begynte utregningen av en Taylorrekke for tangens for å vise at det ofte er nokså vrient å regne ut slike rekker; så viste jeg en enklere (men fortsatt arbeidskrevende) metode basert på divisjon av potensrekker: Man setter inn den ukjente potensrekken for tan(x) og de kjente rekkene for cos(x) og sin(x) i tan(x)·cos(x)=sin(x), ganger sammen rekkene og sammenligner koeffisienter. Men først forklarte jeg om produkt av potensrekker (helt sist i avsnitt 8.7, side 551) som jeg hadde hoppet over tidligere. Jeg avsluttet med avsnitt 8.10 om binomialrekken, og dermed er vi ferdig med kapittel 8.

(Slides.) Potensrekker, konvergensradius og -intervall, leddvis derivasjon og integrasjon (uten bevis), Taylor- og Maclaurinrekker. Blant annet brukte jeg leddvis derivasjon til å vise at e^x=∑xⁿ/n! – idéen var å vise at summen av rekken er sin egen derivert. Jeg klarte ikke motstå fristelsen til å nevne Abels teorem om verdien av en potensrekke på kanten av konvergensintervallet, siden teoremet er både nyttig og svært enkelt å forstå og bruke. (Dessuten er det jo norsk…)

Avsnitt 8.5 (forholdstest og rottest for rekkekonvergens) og 8.6 (alternerende rekker og absolutt konvergens). Dagens slides, der jeg i etterhånd har lagt til en svært kort oversikt over det siste, litt kompliserte, eksemplet jeg tok på en alternerende, divergent rekke.

Teoremet jeg nevnte, om at en betinget konvergent rekke kan omarrangeres til å gi en hvilken som helst sum, kalles iblant Riemanns rekketeorem (se littereaturreferansene på http://mathworld.wolfram.com/RiemannSeriesTheorem.html.)

Avsnitt 8.2–8.4: 8.2 om rekker generelt og deres sum, 8.4 om sammenligningstester for å se om rekker konvergerer, 8.3 om integraltesten for å sjekke om en rekke konvergerer. Slides (litt oppdatert 30/10).

Avsnitt 8.1, om følger og grenser av følger. Jeg mener jeg dekket alt grundig nok, men unntak av prinsippet om at en ikke-avtagende begrenset følge har en grense. (Men det er mest naturlig å ta sammen med rekker okke som.)

Avsnitt 7.7, om de såkalte «uegentlige» integralene. Det er egentlig en litt dum betegnelse: Disse er utmerkede integraler, det er bare det at vår opprinnelige definisjon med grenser av Riemannsummer ikke biter på dem. I tillegg må man bruke en ekstra grenseovergang, enten fordi en eller begge integrasjonsgrenser er uendelig, eller fordi integranden er ubegrenset der. (Andre definisjoner av integralet trenger ikke denne ekstra komplikasjonen, men de ligger langt utenfor pensum i dette emnet.) Og noe skal de vel hete, så da får vi vel kalle dem uegentlige i likhet med resten av verden.

Mandag var jeg opptatt med doktordisputas. Hans Jakob Rivertz vikarierte. Han t for seg avsnitt 7.5 og 7.6, om bruke av tabeller og numerisk integrasjon.

Avsnitt 7.3 (trigonometrisk substitusjon, spesielt nyttig for visse kvadratrotuttrykk, i hvert fall hvis inmaten minner vagt om Pythagoras) 7.4 (rasjonale funksjoner og delbrøkoppspalting).

Avsnitt 7.1 (delvis integrasjon) og 7.2 (integraler av trigonometriske funksjoner).

Først noen eksempler på separable differensialligninger, endte med ligningen for logistisk vekst på normalform: du/dt=u(1−u). Jeg løste ligningen og viste frem et retningsdiagram med en del løsninger inntegnet (se den i frimerkestørrelse nedenfor, eller i større utgave). Det kom forresten en frem i pausen og ba meg klargjøre et spørsmål for klassen: Mange hadde lurt på det samme. Men jeg ble litt distrahert av noe Ω-blesting og glemte det … det dreide seg om noen algebraiske manipulasjoner jeg gjorde på slutten, der blant annet konstanten A måtte vike for en ny konstant B=1/A: Dette hadde ingen annen hensikt enn å bringe svaret på en form jeg fant mer hensiktsmessig, men det hadde ikke noen funksjon utover det.

Jeg avsluttet med å fare over avsnitt 6.6 (arbeid) og 6.7 (momenter og massesenter) med en harelabb. Det vil si, jeg tok noen eksempler fra 6.6, men 6.7 gikk nokså kjapt, med bare ett eksempel.

Først litt mer om buelengde, deretter areal av omdreiningsflater (to eksempler: sykloiden rotert om x-aksen og en kule). separable differensialligninger (avsnitt 6.5). Dere har alt sett dette i TMA4100 Kretsteknikk.

Planen var 6.4–6.5: Areal av rotasjonsflater, separable differensialligninger. Uheldigvis lå jeg litt på etterskudd allerede, og så hadde jeg helt glemt at Ela Sjølie skulle ha første timen for å snakke litt om studieteknikk. Det er nok vel anvendt tid, men vi får det litt travelt nå. Jeg fikk i hvert fall gjort meg ferdig med sylinderskallmetoden og fikk sagt noen ord om buelengde. Eksempel: sykloiden og buelengden av den.

Planen var avsnitt 6.1–6.3 omtrent: Volumberegning ved tverrsnitt, Cavalieris prinsipp, volum av rotasjonslegemer ved skivemetoden og sylinderskallmetoden. Buelengde. Jeg nådde bare så vidt inn i sylinderskallmetoden. Ett eksempel på tverrsnittmetoden er volumet av et område begrenset av to parabolske sylindere (nedenfor).

Jeg har gjort meg ferdig med kapittel 5. (Få detaljer her fordi jeg ikke har rukket å oppdatere dagboken.)

Mer om integrasjon (avsnitt 5.1–5.3): Hvordan integralet defineres som en grense av summer. Jeg rakk knapt å berøre fundamentalteoremet i avsnitt 5.4.

Først feide jeg raskt over avsnittene 4.5 og 4.6, som jeg hadde hoppet over.

Til avsnitt 4.4: Læreboken bruker ustandard terminologi, formodentlig i et forsøk på å være pedagogisk. Det de kaller konkav opp (concave up) kaller vi konveks, og det de kaller konkav ned (concave down) kaller vi konkav. Standardterminologien her er kanskje ikke spesielt velbegrunnet, men den er fastspikret av historien og alt for sent å endre på nå.

Avsnitt 4.5 handler om optimering, et stort og viktig (og vanskelig) felt. Her tar vi bare for oss optimering i en variabel, som er forholdsvis enkelt og liketil. Jeg regnet et eksempel der problemet er å trekke en kabel fra en elvebredd til et punkt et stykket ned på den andre siden, der det koster dobbelt så mye å legge kabel langs elvebunnen enn over land.

Det meste av tiden gikk til å forklare Newtons metode, som er en numerisk metode for å bestemme nullpunkter til en differensiabel funksjon. Metoden konvergerer normalt meget raskt dersom den konvergerer i det hele tatt.

Til slutt introduserte jeg bruken av trappefunksjoner som tilnærming til integraler (det vil si areal).

(Jeg hadde planlagt å bruke datamaskinen litt, men det skar seg fordi maskinen i auditoriet ikke hadde kontakt med en tjenermaskin så jeg fikk ikke logget inn.)

Planen var avsnitt 4.4–4.6. Men jeg hadde igjen noe fra 4.3, så jeg tok det først. Så hoppet jeg raskt over 4.4 og 4.5 og gikk løs på 4.6 om l'Hôpitals regel, som gir en grei oppskrift for å regne ut mange grenser der både teller og nevner går mot null (såkalte 0/0-uttrykk). Jeg regnet en del eksempler.

En dårlig dag på grunn av strømbruddet som av ymse grunner førte til at jeg mistet to timer forberedelsestid. I tillegg virket ikke noen av mikrofonene, så jeg skrek meg hes i to timer.

Avsnitt 4.1–4.3.

Avsnitt 4.1 om ekstremverdier og 4.2 om middelverdisetningen er kanskje de viktigste teoriavsnittene i boken, fordi de inneholder abstrakte resultater som har konsekvenser i praktisk regning. Dette ser man allerede i avsnitt 4.3, om monotonitet og førstederiverttesten.

Litt fra avsnitt 3.8 om derivasjon av inverse trigonometrisk funksjoner, spesifikt arcsin, arccos og arctan. Legg merke til at jeg bruker arcsin heller enn sin^–1 og så videre, for konsistensens skyld. Så avsnitt 3.9 om relaterte rater: et eksempel fra boken om å blåse opp ballonger, og et eksempel om å bruke taljer, tau og en elefant til å løfte en tung gjenstand. Fra 3.10 om linearisering og differensialer. Regning med differensialer kan virke veldig uvant, og føles nesten som juks, men det gir riktige resultater og ikke minst er det mye brukt i anvendelser både i vitenskap og teknologi (termodynamikk er kanskje et ekstremt eksempel). Etter litt trening blir man som regel vant med det. Til slutt brukte jeg noen få minutter til å fare over 3.11 (hyperbolske funksjoner) med en harelabb.

Nå er vi kommet til stoff som er mindre kjent fra videregående. Jeg tok for meg parametriske kurver fra avsnitt 3.5: Litt om hva en parametrisk kurve er (også kalt kurve på parameterform: x og y er funksjoner av en parameter t. For eksempel enhetssirkelen, parametrisert ved x=cos t og y=sin t) og noen eksempler på hvordan vi kan finne parametriseringer, og så en kort forklaring av den litt mystiske formelen dy/dx=(dy/t)/(dx/dt) [formel (2) på side 171].

Deretter tok jeg for meg avsnitt 3.6 (implisitt derivasjon). Ett av flere poenger her er at metoden lar deg derivere en funksjon selv om du ikke klarer å skrive en formel for funksjonen, bare den oppfyller en ligning. At den deriverte ikke kan uttrykes ved x alene er ikke uvanlig for denne metoden.

Til sist avsnitt 3.7 om derivasjon av inverse funksjoner: En grei regel er at å derivere y med hensyn på x når x=f (y) er nok et eksempel på implisitt derivasjon. I dette tilfellet blir resultatet lett å huske: dy/dx=1/(dx/dy). Jeg anvendte dette på den deriverte av logaritmen, og på funksjonen gitt ved x=y+ln y, som har derivert dy/dx=y/(y+1). Til slutt presenterte jeg metoden med logaritmisk derivasjon (nyttig når du skal derivere store produkter), og viste at e^x er grensen av (1+x/n)^1/n når n→∞. (Dette er bare en lett omskrivning av det faktum at den deriverte til ln x er 1/x.)

Avsnitt 3.2 om derivasjonsregler, inklusive kjerneregelen fra 3.5. Jeg tok for meg eksponensialfunksjonen relativt grundig, men vi har ennå ikke definert e^x (det kommer vi til senere). Husk formelen a^x=e^{ln x}.

Avsnitt 3.3 om tolkninger av den deriverte, og 3.4 om derivasjon av trigonometriske funksjoner: Husk den deriverte av sin, cos og tan, og ikke ta sec og csc for høytidelig.

Målet var til og med avsnitt 3.5, men det er muligens for ambisiøst. Vi får se.

Fra avsnitt 2.6 om kontinuitet og diskontinuitet. Diskontinuiteter kommer i litt forskjellige typer: De hevbare (grensen eksisterer, men funksjonsverdien i punktet er forskjellig, eller er udefinert), sprang (grensene fra venstre og fra høyre eksisterer, men er ikke like) og punkter hvor en eller begge ensidige grenser ikke eksisterer. Dette siste kan skyldes at funksjonen går mot uendelig (vi har en vertikal asymptote) eller fordi funksjonen oscillerer uendelig mye (eksempel: sin 1/x). Ikke minst viktig: Skjæringssetningen, som er nyttig for å vise eksistensen av løsninger til en ligning innenfor et intervall.

Jeg fortsatte inn kapittel 3, om derivasjon. Mest avsnitt 3.1.

(Jeg glemte meg bort og skrev for smått på tavlen i deler av forelesningen. Skjerp meg! Og så trenger jeg bli flinkere til å velge hva jeg skal si, for det er ikke tid til å si alt. Det er for lenge siden sist jeg foreleste grunnkurs, men jeg skal nok snart ta meg inn og treffe målgruppen bedre.)

Toke Meier Carlsen vikarierte på den siste forelesningen under Teknostart. Tema skrå asymptoter, uendelige grenseverdier og vertikale asymptoter, litt om kontinuitet. Slides.

Etter dagens forelesning fikk jeg noen spørsmål som tydet på at ett av ulikhetseksemplene mine falt vanskelig på slutten. Jeg var kommet til 4−x≤2x≤x−4, som er kort for 4−x≤2x og 2x≤x−4 – så la jeg til x i den første ulikheten og −x i den andre, med resultat 4≤3x og x≤−4. Jeg konkluderte at det ikke fantes noen løsning, siden ingen x kan oppfylle begge ulikhetene samtidig. Men noen ville heller konkludere at alle x≥4/3 og alle x≤−4 skulle løse problemet. Dette skyldes en feiltolkning av ordet og: I resonnementet mitt betyr det virkelig at x skal oppfylle begge ulikhetene samtidig, og det går ikke an for noen x. Dette er et typisk eksempel på at matematisk språk kan skille seg litt fra dagligspråket: Hvis jeg sier «x er kvinne og x er mann» skjønner alle at det er vanskelig å få til hvis x står for samme person begge ganger, men når jeg sier «kvinner og menn» skjønner likeledes alle at jeg mener noe annet, nemlig alle de x med egenskapen at x er kvinne eller x er mann. (Men folk ville se rart på meg om jeg brukte den siste formuleringen i dagligtale.)