Prosjekt- og masteroppgaver tilbudt av Helge Holden

Kontaktinfo

Over en lengre periode er det studert en rekke ikkelineære partielle differensialligninger. Spesiell vekt har vært lagt på hyperbolske konserveringslover som bl.a. uttrykker massebevaring i kontinuerlige mekaniske systemer. En hovedteknikk har vært frontfølgingsmetoden.

En rekke anvendelser har vært studert. Figuren nedenfor viser et sjokk som kommer inn fra venstre og treffer en gassboble med lavere tetthet.

En rekke oppgaver er her mulig med varierende fokus hva angår vanskelighetsgrad og bruken av numeriske hjelpemidler.

• Bølger mot en strand. Bølger som bryter og slår mot en strand er et komplisert fenomen. Oppgaven går ut på å gjøre et litteraturstudium av fenomenet og programmere og utteste ulike numeriske metoder.
• Flytende krystaller. Modeller for flytende krystaller gir interessante ikkelineære partielle differensialligninger. Oppgaven går ut på å gjøre et litteratursøk på endel modeller for dette, og utlede noen av dem. (Se også punktet om "Ikkelineær variasjonsbølgeligningen" nedenfor.)
• Gasstrøm i rør. En viktig anvendelse er å kunne modellere gasstrøm i rør. Fordelen er at modellene ofte kan tilnærmes som endimensjonale, og det gjør både den matematiske og numeriske behandlingen enklere.
• Trafikkmodellering. En vanlig modell for tett trafikk er hyperbolske konserveringslover (et vanlig eksempel, f.eks. i Matematisk modellering). Dette kan utvides til en modell som gjelder et nett av veier, f.eks. i en bykjerne. Oppgaven går ut på å lage et simuleringsverktøy for en matematisk modell i dette tilfellet.
• Frontfølger. Det er utviklet flere frontfølgingsimplementasjoner, se f.eks. Holden and Risebro: "Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws" for å løse hyperbolske konserveringslover. Felles for disse er at det må lages en Riemann-løser for den konkrete ligningen som skal løses. Oppgaven går ut på å lage en slik Riemann-løser for ulike ligninger.
• Høyere ordens frontfølging. Tradisjonelt er frontfølging en førsteordens metode. Imidlertid kan den forbedres til en annenordens metode. Minst to mulige oppgaver fins innen dette området: For det første kan man studere første- og andreordens metodene teoretisk på enklere skalare ligninger i en dimension. Alternativt kan man implementere metodene på de fulle Euler-ligningene for gassdynamikk i to eller tre dimensjoner og sammenligne dem numerisk på noen modelleksempler.
• Ikkelineær variasjonsbølgeligningen. Denne ligningen har formen \[ \large u_{tt} - c(u)(c(u)u_x)_x = 0 \] der u er den ukjente funksjonen og c(u) er en kjent funksjon. Ligningen brukes som en modell for flytende krystaller. Dersom c(u) er konstant, får vi den vanlige bølgeligningen. Men for andre valg av c(u) er denne ligningen, som på engelsk heter "the nonlinear variational wave equation", mye mer komplisert. Oppgaven går ut på å studere noen klasser av løsninger, og se på både analytiske og numeriske egenskaper.

Nylig har jeg vært med på å utvikle en ny operatorsplittingsmetode (Se arXiv0906.4902 for anvendelse på KdV-ligningen) for ikkelineære partielle differensialligninger. Anta man ønsker å løse initialverdiproblemet \[ \large \frac{du}{dt} = C(u), \quad u|_{t=0} = u_0 \] der C er en operator som kan være en differensialoperator i rommet. En vanlig fremgangsmåte for å løse denne ligningen er å dele den opp i to ved å skrive \[ \large C(u) = A(u) + B(u) \] og deretter å løse ligningene \[ \large \frac{du}{dt} = A(u) \] og \[ \large \frac{du}{dt} = B(u) \] etter hverandre for små tidsskritt. Et eksempel er ligningen \[ \large \frac{du}{dt} = u_{xx} + u_x \] og \[ \large A(u) = u_{xx}, \quad B(u) = u_x \] Den første ligningen (med A) er varmledningen (der man har eksplisitt løsning). Den andre ligningen (med B) er lineær transport, også med eksplisitt løsning. For mer kompliserte ligninger kan ligningene med A og B ha svært forskjellige egenskaper, og dermed også ulike numeriske egenskaper. Typiske eksempler er mange ikkelineære ligninger. Flere oppgaver er mulige:

• Teori: Arbeidet linket til ovenfor gir et rammeverk som kan benyttes på andre ligninger enn KdV-ligningen (Korteweg-de Vries ligningen), f.eks. Boussinensq-ligningen og den ikkelinære Schrödinger-ligningen.
• Anvendelse: Man kan også anvende dette rammeverket på numeriske metoder. Her kan sette opp numeriske metoder for KdV-ligningen, og se hvordan metoden virker numerisk.
• Litt av begge deler: Man kan analysere teoretisk de numeriske metodene for KdV-ligningen.

Instituttet har nært samarbeid med SINTEF Anvendt matematikk (Oslo/Trondheim). Det er mulig å ta masteroppgaven i samarbeid med dem. Ta kontakt med meg for nærmere diskusjon av mulige oppgaver.

Det er mulig å ta masteroppgaven i samarbeid med forskere ved Statoils forskningssenter (Rotvoll), Trondheim. Ta kontakt med meg for nærmere diskusjon av mulige oppgaver. (Statoil krever et karaktergjennomsnitt på B eller bedre.)

Schlumberger er verdens største utvikler av reservoarsimuleringsverktøy, og har utviklingsavdelinger i Oslo og Stavanger. Noen mulige oppgaver er beskrevet i følgende dokument. Om du er interessert i noen av disse, vennligst ta kontakt med meg.